上海市延安中学2019届高三数学三模试卷(理科) Word版含解析

∴n=10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值． 故答案为：10．

14．已知AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=|中λ∈R），P在单位圆上运动时，m的最大值为，则|

﹣λ|的最小值为m（其 ．

|的值为

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】设λ=，则﹣λ=﹣=，而点C在直线AB上，则问题即是求动点P到直线AB上的点C距离的最值问题，则CP⊥AB时，距离最小，由CP过圆心O时，取得最大值，再由垂径定理和勾股定理，即可得到AB的长． 【解答】解：设λ=，则﹣λ=﹣=， 又C点在直线AB上，

要求f（λ）=|﹣λ|的最小值，

即求||的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小， 可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离

又m的最大值为，可得CP过圆心O时m取得最大值， 即有|

|=2

．

=

．

故答案为：

二、选择题（本题满分20分，每小题5分.）

15．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列正确的是（ ） A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．

【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．

【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；

对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误； 对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；

对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确； 故选D．

16．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【考点】函数单调性的性质．

【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，

fx）a=f+∞）上单调递增，根据（为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：（|log0.53|），

b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．

【解答】解：∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）=f（x）；

∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1； ∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|； （﹣x﹣m）2=（x﹣m）2； ∴mx=0； ∴m=0；

∴f（x）=2|x|﹣1；

∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；

∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C．

17．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出． 【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增． 当a＜0时，

，

结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增． 若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图

它在区间（0，+∞）内有增有减，

从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．

∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件． 故选：C．

18．已知数列{an}满足的取值范围是（ ） A．

B．（0，1）∪（2，+∞） C．（0，1） D．（2，+∞）

，首项a1=a，若数列{an}是递增数列，则实数a

【考点】数列递推式．

【分析】利用数列{an}是递增数列，对a讨论，通过第二项大于第一项，求出a的范围即可．【解答】解：数列{an}满足所以

，则

，首项a1=a，若数列{an}是递增数列，

，即

，

当a＞0时，解得a∈（0，1）∪（2，+∞）．

当a＜0时，不等式无解． 故选B．

三、解答题（本题满分74分）

19．如图所示，长方体ABCD﹣EFGH，底面是边长为2的正方形，DH=2，P为AH中点．

（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积；

（2）若点M在正方形ABCD内（包括边界），且三棱锥P﹣AMB体积是四棱锥F﹣ABCD体积的，请指出满足要求的点M的轨迹，并在图中画出轨迹图形．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．

【分析】（1）VF﹣ABCD=

；

（2）设点M到AB的距离为h，则VP﹣AMB=S△AMB?1=1，解出h即可得出M的轨迹． 【解答】解：（1）VF﹣ABCD=

（2）设点M到AB的距离为h，则S△AMB=∵P为AH的中点，

∴点P到平面AMB的距离为1， ∴VP﹣AMB=

=

=

=1， =

=

=8． ．

∴，

∴点M的轨迹是连接AD中点和BC中点的线段．

20．已知函数f（x）=2

sin（

+）sin（

﹣）﹣sin（π+x），若函数g（x）的图象

与函数f（x）的图象关于y轴对称；

（1）求函数g（x）的解析式； （2）若存在x∈[0，

]，使等式[g（x）]2﹣g（x）+m=0成立，求实数m的取值范围．

【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）三角函数中两角互余的诱导公式及函数对称问题，通过g（x）上的点对称点在f（x）上，求出g（x）的解析式． （2）根据存在x∈[0，

]，使等式[g（x）]2﹣g（x）+m=0成立，换元转化为二次函数

求值，从而求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f（x）====2

因为g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，