3.1空间向量及其运算导学案

3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算

【知识点一】 空间向量及其加减运算

1.几类特殊向量: 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 2.空间向量的加、减运算:

3.空间向量加法的运算律:(1)交换律 (2)结合律 探究1.下列说法中正确的是( )

A．若|a|＝|b|，则a，b为相等向量

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC 【知识点二】 空间向量的数乘运算 1.数乘运算的定义

2.运算律：(1)分配律：?(a?b)? (2)结合律??a? 【知识点三】 共线向量 1.共线向量的定义

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相______或_______,则这些向量叫作共线向量或平行向量.0与任意向量都是共线向量. 2.空间向量共线的充要条件

对空间任意两个向量a,b(b?0)，a//b的充要条件是存在实数?，使得______________.

1

??3.点P在直线l上的充要条件

如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使OP?OA?ta?，其中向量a叫作直线l的______向量.

在l上取AB?a，则?式可化为OP?OA?tAB? ?式即为P,A,B三点共线的充要条件. 【知识点四】 共面向量

1.共面向量的定义：平行于同一个平面的向量，叫作_______________. 空间任意两个向量总是_______的，但空间任意三个向量_____________. 2.共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一有序数对(x,y)，使_________________.

探究2.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式，判断P与A,B,C是否共面？ OP?xOA?yOB?zOC（其中x?y?z?1）

考点回扣一、向量概念的应用 例1.(1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )

A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量AB,CD，满足|AB|>|CD|，则AB?CD D．若两个非零向量AB,CD满足AB?CD?0,则AB//CD

2

(2)给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC?A1C1；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 考点回扣二、空间向量的加减运算 首尾相接的若干向量之和等于由_______向量的起点指向________向量的终点的向量;若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为______.

例2.如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为AC1的共有( ) ①(AB?BC)?CC1; ②(AA1?A1D1)?D1C1; ③(AB?BB1)?B1C1; ④(AA1?A1B1)?B1C1;

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3.已知A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心，求证：

AG?1(AB?AC?AD) 3

3

【变式】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：A1O?AB?AD?_______； (2)用

AB,AD,AA11212表示OC1，则OC1＝

________________．

考点回扣三、空间向量的共线问题 例4.已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( )

A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【变式】若非零空间向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________． 考点回扣四、空间向量的共面问题 例5.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′，设AB＝a，AC＝b，AA'＝c，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M，N使AM＝kAC'，BN＝kBC(0≤k≤1)，求证：MN与向量a和c共面．

4