高2020届高2017级高一数学暑假提高班讲义初升高数学衔接教材

(2)完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

23?ab?2b)?3a?；b(1)立方和公式 (a?b)(a 23?ab?2b)?3a?；b(2)立方差公式 (a?b)(a

(3)三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； (4)两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； (5)两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3． 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算:(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

2426222解法一:原式=(x2?1)??(x?1)?x?? =(x?1)(x?x?1) =x?1．

解法二:原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1． 例2 已知a?b?c?4,ab?bc?ac?4,求a2?b2?c2的值． 解: a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

【变式练习】1. 计算: (1)(x2?2x?)2

(3)(a?2)(a?2)(a?4a?16)

练 习2 1．填空:

4213 (2)(m?151111n)(m2?mn?n2) 225104 (4)(x?2xy?y)(x?xy?y)

22222121211a?b?(b?a)( )； 942322(2)(4m? )?16m?4m?( )；

2222(3)(a?2b?c)?a?4b?c?( )．

(1)2．选择题:

1mx?k是一个完全平方式,则k等于 ( ) 21112(A)m (B)m2 (C)m2 (D)m2

431622(2)不论a,b为何实数,a?b?2a?4b?8的值 ( )

(1)若x2?(A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数

1的值． 3x1111114 已知a?b?c?0,求a(?)?b(?)?c(?)的值．

bccaab23 已知x?3x?1?0,求x3?第3节 二次根式

一般地,形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b,a2?b2等是无理式,而

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2x2?2x?1,x2?2xy?y2,a2等是有理式． 21．分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如2与2,3a与a,3?6与3?6,23?32与23?32,等等． 一般地,ax与x,ax?by与ax?by,ax?b与ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式a2的意义

a2?a???a,a?0,

?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式:

(1)12b； (2)a2b(a?0)； (3)4x6y(x?0)．

解:

例2 计算:3?(3?3)． 解:

例3 试比较下列各组数的大小:

2(1)12?11和11?10； (2)和22－6.

6?4解: (1)∵12?11? 11?12?11(12?11)(12?11)1, ??112?1112?1110?1, 10(1?110)(?1110)?11?101?1又12?11?11?10,∴12?11＜11?10．

10? (2)∵22－6?11?122－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6又 4＞22, ∴6＋4＞6＋22,

10

2＜22－6. 6?4例4 化简:(3?2)2004?(3?2)2005．

∴解:(3?2)2004?(3?2)2005

＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2)

? ＝??(3?2)?(3?2)? ＝12004?(3?2)

2004?(3?2)

＝3?2．

例 5 化简:(1)9?45； (2)x2?解

1?2(0?x?1)． 2x:(1)

原

式

?5 ?4?(5)2?2?2?5?22?(2?5)2?2?5?5?2．

11 (2)原式=(x?)2?x?,

xx11∵0?x?1,∴?1?x,所以,原式＝?x．

xx3?23?2例 6 已知x?,求3x2?5xy?3y2的值 ． ,y?3?23?23?23?2 解: ∵x?y???(3?2)2?(3?2)2?10,

3?23?23?23?2??1, 3?23?2 ∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289． xy?练 习3 1．填空: (1)1?3＝__ ___；

1?3(2)若(5?x)(x?3)2?(x?3)5?x,则x的取值范围是_ _ ___； (3)424?654?396?2150?__ ___； (4)若x?x?1?x?1x?1?x?15,则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?12．选择题:

xx成立的条件是 ( ) ?x?2x?2(A)x?2 (B)x?0 (C)x?2 (D)0?x?2

等式11

a2?1?1?a23．若b?,求a?b的值．

a?14．比较大小:2－3 5－4(填“＞”,或“＜”)． 5 。 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1) (3)

6． 设x?3

2?3 (2) (1?x)2?(2?x)2 (x?1)

11? ab (4) 2x?x3?8x 22?32?333,求x?y的值． ,y?2?32?3

第4节 分式

1．分式的意义 形如性质:

AAA的式子,若B中含有字母,且B?0,则称为分式．当M≠0时,分式具有下列BBBAA?MAA?M； ． ??BB?MBB?M上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

am?n?p像b,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

2mc?dn?p5x?4AB??例1 若,求常数A,B的值．

x(x?2)xx?2?A?B?5,ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4???解: ∵?, ∴?

xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)?2A?4,12