高等数学-10章曲线积分与曲面积分

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分

其中?是用平面x?y?z?3截立方体? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1的表面所得的截痕? 若从x轴

23的上侧被?所围成的部分? ?的单位法向量n?1(1, 1, 1)? 23的正向看去取逆时针方向? 解 取?为平面x?y?z?即cos??cos??cos??1? 按斯托克斯公式? 有 3 I????111333???dS??4(x?y?z)dS? ?x?y?z3???222222y?xz?xx?y ??4?3dS??233dxdy? ????23?Dxy其中Dxy为?在xOy平面上的投影区域? 于是 I??6Dxy??dxdy??6?4??2?

39dydzdzdxdxdy????2(y?z)dydz?(x?z)dzdx?(x?y)dxdy

I???????x?y?z?2?y?z2z2?x2x2?y2cos?cos?cos??????4(x?y?z)提示 ? ? dS?12?12?12dxdy?

?x?y?z3222222y?xz?xx?y I??4(x?y?z)dS??4?3dS??233dxdy??6??dxdy??9? ??????23?32?DDxyxy 二、环流量与旋度

旋度? 向量场A?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))所确定的向量场 (?Q?P?R?Q?P?R?)i?(?)j?(?)k ?y?z?z?x?x?y重庆三峡学院高等数学课程建设组

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称为向量场A的旋度? 记为rotA? 即 rotA?(?R??Q)i?(?P??R)j?(?Q??P)k?

?y?z?z?x?x?yijk????

旋度的记忆法? rotA??x?y?zPQR斯托克斯公式的另一形式?

??rotA?ndS??A??ds? 或??(rotA)ndS??A?ds

????其中n是曲面?上点(x? y? z)处的单位法向量? ?是?的正向边界曲线?上点(x? y? z)处的单位切向量?

沿有向闭曲线?的曲线积分

??Pdx?Qdy?Rdz??A?ds

?叫做向量场A沿有向闭曲线?的环流量?

上述斯托克斯公式可叙述为? 向量场A沿有向闭曲线? 的环流量等于向量场A的旋度场通过?所张的曲面?的通量?

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