2006年1月浙江省自考试题近世代数

浙江省2006年1月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A.2 C.7

B.5 D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

?：x→x＋2，?x∈R，

则?是从A到B的（ ） A.满射而非单射 C.一一映射

B.单射而非满射 D.既非单射也非满射

3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A.(1)，(123)，(132) C.(1)，(123)

B.(12)，(13)，(23) D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。 A.2 C.6

B.4 D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ） A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法 B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝0 D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝1 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。

1

7.设(G，·)是一个群，那么，对于?a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)1＝

－

___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。 13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________ ___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________ ___________。

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，?是Z到Zm的一个映射，其中

，?k∈Z， ? ：k→［k］

验证：?是Z到Zm的一个同态满射，并求?的同态核Ker?。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“?”

由右边的运算表给出，证明：(G，?) 作成一个群。

2

c c a b ? a a b c b b c a a b c

20.设

??a R??????c?b??a,b,c,d?Z?,d?????a0???I???a,c?Z?, ?c0?????已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。 21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。

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