复变函数与积分变换试题及答案20课件

9.（6分）求将上半平面 Im(z)?0 保形映照成单位圆 |w|?1 的分式线性函数。

10.（5×2）（1）己知 F[f(t)]?F(?)，求函数f(2t?5)的傅里叶变换；

（2）求函数F(?)?

2的傅里叶逆变换。

(3?i?)(5?i?)

5

11.（5×2）（1）求函数f(t)?e2tu(t?2)的拉普拉斯变换； （2）求拉普拉斯逆变换L-1

[ss2?4s?5]。

12.（6分）解微积分方程：y'(t)??t0y(?)d??1,

6

y(0)?0。

答 案

1.（5分）请依次写出z的代数、几何、三角、指数表达式和z的3次方根。

z?x?iy?rei??r(cos??isin?)

z?rei??2k?3

z：r,Argz

2. （6分）请指出指数函数w?ez、对数函数w?lnz、正切函数

w?tanz的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。

指数函数w?ez、对数函数w?lnz、正切函数w?tanz的解析域 分别为：整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴，无界开区域，；除去点z?k???2，无界开区域。

3.（9分）讨论函数f(z)?x2?iy2的可导性，并求出函数f(z)在可导点的导数。另外，函数f(z)在可导点解析吗？是或否请说明理由。

?u?v?u?u?2x ?2y ?0 ?0，u,v可微 解：?x?y?y?y所以x?y时函数可导，且f?(z)x?y?2x。

因为函数在可到点的任一邻域均不可导，所以可导点处不解析。 4. （6分）已知解析函数f(z)?u?iv的实部u?y3?3x2y，求函

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数f(z)?u?iv的表达式，并使f(0)?0。

?u?y3?3x2y?u?v?u?v22??6xy?,?3y?3x??,?x?y?y?x?v?x3?3xy2?c解：f(z)?y3?3x2y?i(x3?3xy2)?ic

?f(0)?0?c?0f(z)?y3?3x2y?i(x3?3xy2)5.（6×2）计算积分：

（1）?Cdz, n?1(z?z0)其中C为以z0为圆心,r为半径的正向圆周, n为正整数；

ez（2）?|z|?3dz。 2(z?1)(z?2)解 （1）设C的方程为z?z0?rei?(0???2π),则

2πdzirei? ?C??n?1i(n?1)?d? n?10r(z?z0)e2π ??0 所以 ?Cid? rnein?i ?nr?2π0(cosn??isinn?)d?

dzdz??2πi（当n?0时）

(z?z0)n?1?Cz?z0 8