2020年浙江省高考数学模拟试卷(15)

∴ab×2sinAcosA＝a2sin2B，可得：bsinAcosA＝asin2B，

2

1

∴由正弦定理可得：sinBsinAcosA＝sinAsin2B， ∵sinA＞0，sinB＞0， ∴cosA＝sinB，

∴A+B=2，或B=2+A， ∴解得C=，或C=．

20．已知锐角△ABC的三个内角A、B、C满足sin Bsin C＝（sin2B+sin2C﹣sin2A）tan A． （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求?????（????+????）的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）sin Bsin C＝（sin2B+sin2C﹣sin2A）tan A， 由正弦定理可得bc＝（b2+c2﹣a2）tanA， 由余弦定理可得bc＝2bccosAtanA＝2bcsinA， 可得sinA=2，0＜A＜2， 解得A=6；

（Ⅱ） ?????（????+????）=?????（????+?????2????） =?????????+??????????2????2 ＝cos∠AOB+cos∠AOC﹣2 ＝cos2C+cos2B﹣2 ＝cos（

3

5??3

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

????

??

2??41??

??

?2B）+cos2B﹣2

√3=2cos2B?2sin2B﹣2 =√3cos（2B+6）﹣2， ∵△ABC是锐角三角形， ∴{??＜2??3????，

??+??＞2????

可得＜B＜2，

第13页（共15页）

则

5??

＜2B+6＜6， 6

??

√3??7??

可得cos（2B+6）∈[﹣1，?2），

故?????（????+????）的取值范围是[﹣2?√3，?）．

21．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． cos215°+cos215°?√3sin15°sin15°； cos280°+cos2（﹣50°）?√3??????80°??????(?50°)； cos2170°+cos2（﹣140°）?√3??????170°??????(?140°)． （1）求出这个常数；

（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 【解答】解：（1）由题意，可知 ??????215°+??????215°?√3??????15°??????15° =2??????215°?√3??????215° =1+??????30°?

√3√3√3→

→

→

7

22(1???????30°)

7

=1+2?2(1?2)=4．

（2）由题意推广的结论为：当α+β＝30°时，??????2??+??????2???√3????????????????=4． 证明：∵α+β＝30°，∴β＝30°﹣α，则 ??????2??+??????2???√3????????????????

=??????2??+??????2(30°???)?√3??????????????(30°???)

=??????2??+(2????????+2????????)2?√3????????(2?????????2????????)

=??????2??+4??????2??+2????????????????+4??????2???2????????????????+2??????2?? =??????2??+??????2??=．

22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且??????????+2??=??． （1）求角A的大小；

（2）若??=√3，求b+c的最大值． 【解答】解：（1）由于??????????+2??=??， 利用正弦定理可得sinAcosC+2sinC＝sinB，

第14页（共15页）

√3√37

11√33√31√33

7474741

1

1

所以sinAcosC+sinC＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， 所以sinC＝cosAsinC，

21

12因为sinC≠0， 所以cosA=2．

因为A为三角形的内角， 所以A=3．

（2）由于a=√3，A=， 根据正弦定理

??

??3??1

????????

=

??????????

=

??????????2??3

=2，可得b＝2sinB，c＝2sinC，

??6所以b+c＝2sinB+2sinC＝2sin（当C=3时等号成立， 所以b+c的最大值为2√3．

??

?C）+2sinC=√3cosC+3sinC＝2√3sin（C+）≤2√3，

第15页（共15页）