2020年浙江省高考数学模拟试卷(15)

A．?

71 4B．﹣24 C．?

51 4D．﹣30

【解答】解：如图：；

因为：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，BC＝3，∠A＝60°， 点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE； ∴AE＝BE＝AB＝2；

∴四边形AECD为平行四边形；且????与????所成角为60°． 设????=x????，

∴?????????=（????+????）?（????+????）＝（????+x????）?[（1﹣x）?????????]=?????2+x（1﹣x）????+[（1﹣x）﹣x]?????????=?4x2+6x﹣20；

2→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

∵对称轴为x=4，开口向下

∴x=4时，?????????的最大值为：﹣4×(4)2+6×4?20=?4． 故选：A．

3

→

→

3

3371

4→12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且????=5????，

→→2→

????=????，连接AC、MN交于P点，若????=λ????，则λ的值为（ ）

3→

→

A．

5

→

3

B．

74

→

→

3

C．

2

→

4

11

D．

4

13

【解答】解：∵????=5????，????=3????，连

5→3→

∴????=λ????=λ（????+????）＝λ（????+????）=4λ????+2λ????，

42

→

→

→

→

5

→

3

→

∵三点M，N，P共线．

第9页（共15页）

∴λ+2λ＝1， 4∴λ=

4， 115

3

故选：C．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）i是虚数单位，复数【解答】解：

123+2??1???52

3+2??1???

(3+2??)(1+??)(1???)(1+??)

= =

1212

++

5252

?? ．

=??．

故答案为：+??．

→

→

→

→

→

→

14．（5分）在△ABC中，已知????=??，????=??，G为△ABC的重心，用向量??、??表示向量????= →

2→3??+1→3?? ．

【解答】解：设BC边的中点为D， ∵G为△ABC的重心，

∴????=3????=3×2(????+????)=3(????+????+????)=3????+3????=3??+3??， 故答案为：??+

32→

1→3

→

2

→

21

→

→

→

1

→→→

2

→

1

→

2→

1→

??．

15．（5分）

√3??????10°+1= 4 ．

(4??????210°?2)??????10°

2??????20°??????10°??????10°√3??????10°+??????10°【解答】解：原式=

4??????40°

=4．

??????40°=

2??????(10°+30°)2??????40°

==

2??????20°??????10°??????10°??????20°??????20°故答案为：4．

16．（5分）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30√2海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里

√17的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为 ．

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【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB＝30√2，AC＝20，∠BAC＝135°

定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cos135°＝3400， 所以BC＝10√34， 正弦定理得sin∠ACB=

????3√34?sin∠BAC=． ????345√34． 34√2由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=

故cosθ＝cos（∠ACB+45°）＝cos∠ACBcos45°﹣sin∠ACBsin45°=2(34?34)=

√175√343√3417．

√17． 17

故答案为：

三．解答题（共6小题）

17．已知复数z的虚部大于0，且|z|＝|z+2|=√5． （1）求z； （2）求复数

????+4

的实部．

【解答】解：（1）设x＝a+bi（a，b∈R，b≥0）， 则z+2＝a+2+bi，

∴√??2+??2=√(??+2)2+??2， 整理得4a+4＝0，解得a＝﹣1．

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又√??2+??2=√1+??2=√5，∴b＝±2． ∵复数z的虚部大于0， ∴b＝2，则z＝﹣1+2i． （2）

??→

??+4??

=

?1?2???1+2??+4

=?

1+2??3+2??

=?

(1+2??)(3?2??)

13

=?

713

?

413

??

∴复数

??+4

的实部为?

7． 133??

+??)，求下列各式的值： 218．已知??????(3??+??)=2??????((1)5????????+2????????． （2）sin2α+2sinαcosα．

?????????4????????

【解答】解：(1)∵??????(3??+??)=2??????(2+??)， ∴﹣sinα＝﹣2cosα，即sinα＝2cosα， 则原式=10????????+2????????=12=?6； （2）∵sinα＝2cosα，即tanα＝2，

??????2??+2??????????????????????2??+2????????4+48

∴原式===4+1=5． 2??????2??+1????????+??????2??

2?????????4????????

?2

1

3??

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ab+a2＝c2． （1）求证：C＝2A；

（2）若△ABC的面积为a2sin2B，求角C的大小． 【解答】解：（1）证明：∵ab+a2＝c2 ∴a2﹣c2＝﹣ab，

??+??2???2????????????

又∵cosC==2????=2??， 2????2

2

∴2acosC＝b﹣a，

∴由正弦定理可得：2sinAcosC＝sinB﹣sinA，

∴2sinAcosC＝sin（A+C）﹣sinA＝sinAcosC+sinCcosA﹣sinA， 可得：sinAcosC＝sinCcosA﹣sinA，可得：sinA＝sin（C﹣A）， ∴A＝C﹣A，或A+（C﹣A）＝π（舍去）， ∴C＝2A，得证；

（2）∵S△ABC=2absinC＝a2sin2B， 又sinC＝sin2A＝2sinAcosA，

第12页（共15页）

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