（四年级）第一讲 寻找数字排列的规律

第一讲 寻找数字排列的规律

一、学习目标

1.通过观察、比较和分析，寻找简单数列、数表的排列规律. 2.能根据数列规律填数，并作出简单的判断. 3.感知比较和分析的思想方法.

二、内容提要

发现和总结规律是很重要的数学思维方式.本讲主要学习数与数之间的简单的和、差、积商的关系.数学问题往往是有规律的，从简单情况入手，通过仔细观察，发现规律，就能找到解题捷径和解决实际问题.

三、例题选讲

例1 找出下面每列数的排列规律，并填上合适的数. （1）288，144，72，36， ， ； （2）1，2，4，7，11，16， ， ； （3）1，4，3，6，5，8，7， ， ； （4）2，5，14，41，122， ， ； （5）1，1，2，3，5，8，13， ， ； 解：

（1）这列数的前一个数除以2等于后一个数，空处应填18，9.

（2）这列数的变化规律是：后一个数减前一个数的差再加上后一个数所得的和，即差是1、2、3、4??，于是空处应填22，29.

（3）表面上看这列数的规律不明显，原因在于我们的目光局限在相邻的两个数上.现在不妨隔项进行观察、比较，可以发现，第一、三、五、七个数是1、3、5、7，第二、四、六个数是4、6、8，即这列数是由连续奇数(单数)和连续偶数(双数)两列数复合而成.于是空处应填10，9.

这列数还可以看作是按加3、减1的规律排列的.

（4）这列数的后一个数比前一个数的3倍少1.还可看作后一个数比前一个数多3、多9、多27??于是空处应填365，1094.

（5）从第三个数起，后一个数是前两个数的和，于是空处填21，34. 议一议：

①所观察的数不能过少，要能反映整列数的内在联系.如第（2）题，如果只看前面三个数1，2，4，就可能看成后一项是前一项的2倍，这与后面的排列规律不一致.

②某些数列可分成两个子数列，再分别研究各自的规律会比较容易，如第（3）题.

③一列数的变化规律的表现形式有时不唯一，要灵活运用各种知识及经验，一种方法不行，就换另一种方法尝试.

下面我们研究以数表或图形的形式出现的数列的变化规律. 例2 根据前四组数的变化规律，在“？”处填上合适的数. 2

解：这是各自独立又相互联系的五组数，每组数的变化规律都是相同的. 先观察第一组，按逆时针的顺序.从上到左，再到右，三个数的关系是：

?2?42???4???8.

6 12 16 7 14 18 4 8 12 3 ？ ？ 4 8 这一规律在其余三组数都是一致的，3×2＝6，6＋4＝10.所以第五组数的“？？”分别填6，10.

例3 找出规律后在空格中填数.

解：这是一个数表，对数的观察顺序是关键.这里有10个数.竖着看，上下

3 17 6 9 15 18 7 15 13 11 两个数之间没有固定的规律.横着看，是两个不同的数列，上行依次多3，下行依次少2，于是空格应分别填12和9.

例4 按规律在括号中填数. 解：本题给出的数是按从小到大， 从少到多以三角形的形式排列的.一到六行分 别有1到6个数.而每行的第一个数分别是1、

1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 20 25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2、3、4、5，其余各数都分别是第一个数的2倍、3倍、4倍??根据这一规律，空处应填6，12，18，24，30，36.

例5 观察下面各式，找出规律后在括号中填数. 1＋2＋1＝4 1＋2＋3＋2＋1＝9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25 ……

1＋2＋3＋4＋5＋…＋29＋30＋29＋…＋4＋3＋2＋1＝（ ）

解：经观察发现，每个式子的加数都是逞对称排列的连续自然数，即从1开始按一定次序达到最大时，再依次递减回到1.算式的和是：2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，5×5＝25??，刚好等于中间的最大数乘最大数.

最后一个算式从1加到30，再从29加回到1，最大数是30.所以，算式的和是：

30×30＝900 .

以上求和的依据是，把最大数前、后面的各个加数一大一小地分别配对相加，如1＋29、2＋28、3＋27?、29＋1，加上最大数30，正好是30个30，即900.

例6 右边数表里的数是按一定规律排列的， 那么，①表中第8行第8个数是几？

1 2 5 10 17

4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 ??

﹡②2009这个数在第几行第几列？ 解：数表里的数是一列从1开始的连 续自然数.它的排列方式很特别，是从左上角开 始，每层的数都是按顺序从上到下，再从右到左， 以对角线上的点为拐弯点对称排列的.

这个数表也可以看作逞三角形排列的右图. ①一般来说，数表的观察重点是第1行数或第 1列数.经仔细观察知，第1列数是1、4、9、16、

1

4 3 2

9 8 7 6 5

16 15 14 13 12 11 10 ??

25??这些数恰好是它们所在行数的平方.根据这一规律，第8行第1个数是8×8＝64，再逆着数，第8个数就是57.

﹡②由①的结论因为452＝2025，442＝1936.1936＜2025，故2009一定在第45行，而2025－2009＋1＝17.故2009在第45行第17列.

﹡例7 下表是由77个偶数(双数)排成的，其中20、22、24、33、38、40这6个数被一个平行四边形围住，它们的和是 180.把这个平行四边形上、下、左、右平移 后，又围成数表中的另外6个数.如果平移 后围成的另外6个数的和是660.那么它们

2 16 30 … 4 18 32 … 6 20 34 … 8 22 36 … 10 24 38 … 12 26 40 … 14 28 42 … 142 144 146 148 150 152 154 当中位于平行四边形左上角的那个数是多少？ 解：找数表、数列、图形中的变化规律，一般方法是先观察，细较，找规律，再应用.和种思考问题的方法，还可以在解决其他多问题时得到应用.给本题任一四边形中的6个数编号如右图：

发现这6个数满足 ① ＋⑥＝②＋⑤＝③＋④

①

② ④

③ ⑤

⑥ ＝（①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥）÷3，故所求平行四边形中①＋⑥＝660÷3＝220 并且6个数中最大数，⑥与最小数①的差是20，故容易求出平行四边形左上角的数，即最小的那个数为（660÷3－20）÷2＝100.