2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题五 立体几何 第2讲 点、直线、平面之间的位置关系教案 理

所以EF=BC,

在△PAD中,因为EF∥AD,

所以===.

立体几何中的折叠和探索性问题

考向1 折叠问题

【例4】 (2018·河北省“五个一名校联盟”第二次考试)如图1,在直角梯形ABCD中,∠

ADC=90°,AB∥CD,AD=CD=AB=2,E为AC的中点,将△ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面ABC垂直,如图2,在图2所示的几何体DABC中:

(1)求证:BC⊥平面ACD;

(2)点F在棱CD上,且满足AD∥平面BEF,求几何体FBCE的体积. (1)证明:因为AC=∠BAC=∠ACD=45°,AB=4,

所以在△ABC中, 222

BC=AC+AB-2AC×AB×cos 45°=8,

222

所以AB=AC+BC=16,所以AC⊥BC, 因为平面ACD⊥平面ABC, 平面ACD∩平面ABC=AC, 所以BC⊥平面ACD.

(2)解:因为AD∥平面BEF,AD?平面ACD, 平面ACD∩平面BEF=EF,所以AD∥EF, 因为E为AC的中点,

所以EF为△ACD的中位线,

=2

,

由(1)知==×S△CEF×BC,

又S△CEF=S△ACD=××2×2=,

所以=××2=.

考向2 探索性问题 【例5】

(2018·惠州市第一次调研)如图,在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2(1)证明:AA1⊥平面ABCD;

,点E在A1D上.

(2)当为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离.

(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°, 所以AB=AD=AC=2, 在△AA1B中, 由A

+AB=A1B,知AA1⊥AB,

2

2

同理AA1⊥AD,又AB∩AD=A, 所以AA1⊥平面ABCD. (2)

解:当=1时,A1B∥平面EAC.

证明如下:如图,连接BD交AC于点O,

当=1,即点E为A1D的中点时,

连接OE,则OE∥A1B, 又A1B?平面EAC,

所以A1B∥平面EAC.

直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离, 因为E为A1D的中点,

所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离,

=

,

设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,且EF=1, 所以EF⊥平面ACD,可求得S△ACD=

,

所以又AE=

=×1×=.

,AC=2,CE=2,

所以S△EAC=,

所以S△EAC·d=(d表示点D到平面EAC的距离),解得d=,

所以直线A1B与平面EAC之间的距离为

.

(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法. (2)探求某些点的具体位置,使得满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目,一般可采用两种方法:一是先假设存在,再去推理,下结论;二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算. (3)存在探究性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论. 热点训练4:(2016·全国Ⅱ卷)

如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置. (1)证明:AC⊥HD';

(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'ABCFE的体积.

(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.

又由AE=CF得=,故AC∥EF.

所以EF⊥HD,EF⊥HD', 所以AC⊥HD'.

(2)解:由EF∥AC得==.

=4.

由AB=5,AC=6得DO=BO=所以OH=1,D'H=DH=3. 于是OD'+OH=(2故OD'⊥OH. 由(1)知AC⊥HD', 又AC⊥BD,BD∩HD'=H,

2

2

2

2

2

)+1=9=D'H,

所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'. 又由OD'⊥OH,AC∩OH=O, 所以OD'⊥平面ABC.

又由=得EF=.

五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.

所以五棱锥D'ABCFE的体积V=×热点训练5:

×2=.

(2018·邯郸二模)如图,四棱锥PABCD中,AB=BC=2,AD=CD=2,PA=PC,∠ABC=,AB⊥AD,平

面PAD⊥平面ABCD.

(1)求证:PD⊥平面ABCD;

(2)若PD=3,是否存在球O使得四棱锥PABCD内接于球O?若存在,求球O与四棱锥PABCD的体积之比;若不存在,请说明理由. (1)证明:

连接BD,