高二数学选修2-2组合导学案

高二数学 学案 §1.2.2. 组合（1）

学习目标

1. 正确理解组合与组合数的概念； 2. 弄清组合与排列之间的关系； 3. 会做组合数的简单运算；.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 . 复习2：排列数的定义：

从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号 表示 复习3：排列数公式：Amn= （m,n?N?,m?n）

二、新课导学 学习探究

探究任务一：组合的概念

问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

新知：一般地，从 个 元素中取出 ?m?n?个元素 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

试试：试写出集合?a,b,c,d,e?的所有含有2个元素的子集.

反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？探究任务二．组合数的概念：

从n个 元素中取出m?m?n?个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组．

合数．．

．用符号 表示． 探究任务三 组合数公式

Cm0n＝ ＝ 我们规定：Cn?

典型例题

例1 甲、乙、丙、丁4个人，

（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况； （2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？

变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛： （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.

小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.

例2 计算：（1）C477； （2）C10 变式：求证：Cmn?m?1m?1n?m?Cn 动手试试

练1.计算：

⑴ C233236； ⑵ C8； ⑶ C7?C6； ⑷ 3C8?2C25.

练2. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.

练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？

三、总结提升

学习小结 1. 正确理解组合和组合数的概念 2.组合数公式：

Cmn?Amnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)n!Am? 或者： Cmn?m!(n?m)!(n,m?N?,且m?n)

mm!知识拓展

. 1772年，旺德蒙德以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直 沿用至今.

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．

2. 设集合A??a,b,c,d,e?,B?A，已知a?B，且B中含有3个元素，则集合B有 个.

3. 计算：C310= .

4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m：n= .

5. 写出从a,b,c,d,e中每次取3个元素且包含字母a，不包含字母b的所有组合 课后作业

1.计算：

⑴ C2315； ⑵ C6?C28；

2. 圆上有10个点：

⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？

⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？

§1.2.2 组合（2）

学习目标

1. 掌握组合数的两个性质；

2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：从 个 元素中取出 ?m?n?个元素 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从 个 元素中取出 ?m?n?个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号 表示. 复习2： 组合数公式：

Cmn＝ ＝ 二、新课导学 学习探究

探究任务一：组合数的性质 问题1：高二（6）班有42个同学

⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？ ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？ ⑶ 上面两个问题有何关系？

新知1：组合数的性质1：Cmn?mn?Cn．

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n?m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应．．．．

，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：CmCn?mn?n

试试：计算：C1820

反思：⑴若x?y，一定有Cxyxyn?Cn？ ⑵若Cn?Cn，一定有x?y吗？

问题2 从a1,a2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两mn?m1. 组合数的性质1：Cn ?Cnmmm?1类：一类含有元素a1，一类是不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这 个元素中取出 2. 组合数性质2：Cn ?1＝Cn+Cn个元素与a1组成的，共有 个；不含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？

新知2 组合数性质2 Cmmm?1n?1＝Cn+Cn 典型例题

例1（1）计算：C3?C456222277?C8?C9； 变式1：计算C3?C4?C5???C100

例2 求证：Cnnn?1n?2mm?1m?1m?2＝Cm+2Cm+Cm 变式2：证明：Cn?Cn?Cn?1

小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式. 例3解不等式Cn?310?Cn-210?n?N+?. 练3 ：解不等式：Cnn4?C6

动手试试

练1.若C542x6-C2x?14?C4?C4，求x的值

练2. 解方程：

（1）Cx?12x?3 （2）Cx?2x?3113?C13 x?2?Cx?2?10A3x?3

三、总结提升 学习小结

知识拓展

⑴ 计算 C38?n3n ⑵ 计算 C012173n?C21?n 3?C4?C5???C20

学习评价

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. C90-C8910099＝ 2. 若Cn2n-312?C12，则n? 3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；4. 若C77C8n?1?Cn?n，则n? ； 5. 化简：C9-C98mm?1?Cm? .

课后作业

1. 计算：

⑴ C197 ⑵ Cnn?2200; n?1?Cn

2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？

3. 若C128nn?Cn，求C21的值

§1.2.2 组合（3）

学习目标

1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合； 2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质； 3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：⑴ 从 个 元素中取出 ?m?n?个元素的 组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．，用符号 表示；从 个 元素中取出 （m?n）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.

⑵ Amn＝

Cmn＝ ＝ Am与Cmnn关系公式是 复习2：

组合数的性质1： ． 组合数的性质2： ．

二、新课导学 学习探究

探究任务一：排列组合的应用

问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：

⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？

⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？

新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.

试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？ 反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？

典型例题

例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. ⑴ 有多少种不同的抽法？

⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ ⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件： ⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？ ⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？ ⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？ ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？

小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .

例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数： ⑴ 分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；

⑵ 分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本； ⑶ 平均分成三堆.

变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

例3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着

色方法？

变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法?

动手试试

练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？

练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动, （1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种? （2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种? （3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种? （4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种? （5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种?

三、总结提升 学习小结

1. 正确区分排列组合问题

2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.

知识拓展

根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，如果选出的7个数字与开出的7个数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等奖？如果要将一等奖的机会提高到

16000000以上

且不超过

1500000，可在37个数中取几个数字？

学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 凸五边形对角线有 条；

2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有 个；

3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是 ；

4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；

5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？

课后作业

1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？

2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. ⑴ 如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？ ⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？ ⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ ⑷ 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？