[配套K12]2018高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理教师用书 文 北师大版

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第六节 正弦定理和余弦定理

[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 ＝＝＝2R.(Rsin Asin Bsin C为△ABC外接圆半径) (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶变形形式 sinC； (3)sinA＝，sinB＝，sinC2R2R＝余弦定理 abca2＝b2＋c2－2bc·cos_A； b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 内容 b2＋c2－a2cosA＝；cosB＝2bcc2＋a2－b2； 2caa2＋b2－c2cosC＝ 2ababc 2R(1)已知两角和任一边，求另一解决问题 角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 2.三角形常用面积公式 1

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

2111

(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

2221

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

2

(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sin

(2)在△ABC中，若b＋c＞a，则△ABC为锐角三角形．( ) 教育配套资料K12

2

2

2

B．( )

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(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.( )

aa＋b－c(4)在△ABC中，＝.( )

sin Asin A＋sin B－sin C[解析] (1)正确．A＞B?a＞b?sinA＞sin

B．

b2＋c2－a2

(2)错误．由cosA＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．

2bc(3)错误．由b＜a知，B＜A.

(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√

2．(教材改编)在△ABC中，若sinA＋sinB＜sinC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．不能确定

2

2

2

C [由正弦定理，得＝sinA，＝sinB，＝sinC，代入得到a＋b＜c，由余弦定

2R2R2Rabc222

a2＋b2－c2

理得cosC＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]

2ab3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，2

cosA＝，则b＝( )

3

A.2 C．2

B．3 D．3

22

D [由余弦定理得5＝b＋4－2×b×2×，

31

解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]

3

π

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝3，则

6

B＝________.

【导学号：66482172】

π2πab3π2π或 [由正弦定理＝，代入可求得sinB＝，故B＝或B＝.] 33sin Asin B2335．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________.

【导学号：66482173】

b2＋c2－a2c2＋16－121123 [由题意及余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝2，所以S＝

2bc2×4×c22bcsinA＝×4×2×sin60°＝23.]

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1

2

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利用正、余弦定理 解三角形 3π

在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝

4

BD，求AD的长．

[解] 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a＝b＋c－2bccos∠BAC 3π22

＝(32)＋6－2×32×6×cos 4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝310. 6分 又由正弦定理得sinB＝π

由题设知0＜B＜，

4所以cosB＝1－sin B＝

22

2

2

bsin∠BAC310

＝＝， a31010

13101－＝. 9分 1010

在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得

AD＝AB·sin B6sin B3

＝＝＝10. 12分

π－2B2sin Bcos Bcos B[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．

2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．

[变式训练1] (1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA，则角B的大小为( )

A．30° C．60°

B．45° D．120°

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4

(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC55

＝，a＝1，则b＝________. 13

(1)A (2)

21abc [(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－13sin Asin Bsin C2

2

2

2

2

2

3c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，即b－c＝a－3ac，∴a＋c－b＝3ac.又∵

a2＋c2－b23

cosB＝，∴cosB＝，∴B＝30°.

2ac2

45(2)在△ABC中，∵cosA＝，cosC＝，

513

3123541263

∴sinA＝，sinC＝，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.

5135135136563

1×

6521abasin B又∵＝，∴b＝＝＝.] sin Asin Bsin A313

5

判断三角形的形状 (1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，

满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为( )

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

(2)(2016·安徽安庆二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B＜C”是“△ABC是钝角三角形”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)D (2)A [(1)因为acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2Aπ

＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直

2角三角形，故选D.

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