高中数学第7章计数原理7.2排列讲义含解析湘教版选修2 - 3

∴当n≥5时An的个位数字为0. 又∵A1＋A2＋A3＋A4＝1＋2＋6＋24＝33， ∴M的个位数字为3. [答案] A

1．下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④ C．④

B．①② D．①③④

1

2

3

4

n解析：选A 由排列的定义可知，①④为排列问题． A7－A6

2.4＝( )

A5A．12 C．30

6

4

5

4

6

5

B．24 D．36

解析：选D A7＝7×6×A5，A6＝6×A5， 36A5

所以原式＝4＝36.

A5

3．19×18×17×…×10×9等于( ) A．A19 C．A19

解析：选A 最大数为19， 共有19－9＋1＝11个数 ∴n＝19，m＝11， ∴19×18×17×…×9＝A19. 4．已知An＝132，则n＝________.

解析：An＝n(n－1)＝132，即n－n－132＝0， 因为n∈N，所以n＝12. 答案：12

5．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．

解析：画出树形图如下：

5

*2

2

2

11

911

4

B．A19 D．A19

19

10

可知共12个． 答案：12

6．学校举行运动会，从10名队员中选2人参加4×100米接力比赛的第一棒和第四棒，有多少种不同选法？

解：从10名队员中选2人参加接力赛对应于从10个元素任取2个元素的一个排列，因此不同选法有A10＝10×9＝90种．

一、选择题

1．下列等式中不正确的是( ) A．n！＝C．An＝m2

n＋！

n＋1n！

n－m！

mB．An＝An－1 D．An－1＝m－1

mm－1

n－！

n－m！

解析：选B An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，

－1Amn－1＝(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m＋1)，

∴An≠An－1.

2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( ) A．Am C．Am＋20

2020

mm－1

B．Am＋20 D．Am＋20

21

20

解析：选D 可知最大数是m＋20，展开式中是21个连续自然数的积，因而可表示为Am＋20.

3．已知从n个不同的元素中取出4个元素的排列数恰好等于3n·2为( )

A．2 C．5

B．3 D．6

n－2

21

，则n的可能值

解析：选C 由于n≥4.首先排除A、B. 若n＝5，则A5＝5×4×3×2＝120， 而3n·2

n－2

4

＝3×5×2＝120，∴C成立．

3

同理验证，D不成立．

4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A．144 C．72

B．120 D．24

解析：选D 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24.

二、填空题

6

3

5．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)

解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A40＝40×39＝1 560条毕业留言．

答案：1 560

A9＋A9

6．计算65的值为________．

A10－A10

A9＋A95A9＋A96A96A93

解析：6. 5＝55＝5＝4＝

A10－A105A10－A104A1040A9203

答案： 20

7．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是________．

解析：不考虑限制条件有A5种选法，若a当副组长，有A4种选法，故a不当副组长，有A5－A4＝16种不同的选法．

答案：16

8．若2An＝3An＋1－8An，则n的值为__________． 解析：原等式化为：

2·n(n－1)(n－2)＝3(n＋1)n－8n， 32

∴2n－9n＋9＝0，解得n＝(舍)或n＝3.

2∴原方程的解为n＝3. 答案：3 三、解答题

9．下列问题是排列问题吗？并说明理由．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出的3个座位安排3位客人，又有多少种方法？

(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？

解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第1问不是排列问题，因为两个数交换位置、结果不变，即位置与顺序无关；第2问是排列问题，因为被减数与减数交换位置后，结果会发生变化，即位置与顺序有关．

Ax－Ax10．(1)解关于x的方程：5＝89；

Ax7

5

3

2

1

2

1

2

1

5

4

4

4

4

4

5

42

7

(2)解不等式：A9>6A9.

解：(1)法一：∵Ax＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)(x－6)＝(x－5)(x－6)·Ax， ∴

5

7

5

xx－2

x－x－

Ax5

5

x－Ax5

＝89.

∵Ax>0，∴(x－5)(x－6)＝90. 故x＝－4(舍去)，x＝15.

Ax－Ax75

法二：由5＝89，得Ax＝90·Ax，

Ax即

7

5

x！x－x！

＝90·. ！x－！

1

x－

＝！x－

90

x－

∵x！≠0，∴x－！

，

∴(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15. (2)原不等式即

9！

>－x！

6·9！

，

－x＋！

??0≤x≤9，

由排列数定义知?

?0≤x－2≤9，?

2

∴2≤x≤9，x∈N＋.

化简得(11－x)(10－x)>6，∴x－21x＋104>0， 即(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13. 又2≤x≤9，x∈N＋，∴2≤x<8，x∈N＋. 故x＝2,3,4,5,6,7.

第二课时 排列数的综合应用

特殊元素(或位置)的排列问题 [例1] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数． (1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；

(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；

(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．

[解] (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A3种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A3A6

＝2 160(种)．

(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A2种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A2·A5

＝240(种)．

2

2

5

1

16

8