高中数学第7章计数原理7.2排列讲义含解析湘教版选修2 - 3

7．2排 列

第一课时 排列与排列数公式及简单应用

[读教材·填要点]

1．排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．用符号An表示排列的个数时，有

An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． 2．排列数的相关公式

①n！＝1×2×3×…×n,0！＝1. ②An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝mmmn！

. n－m！

[小问题·大思维]

1．北京—上海，上海—北京的车票是同一个排列吗？

提示：由于北京—上海、上海—北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列． 2．如何判断一个具体问题是不是排列问题？

提示：判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．

3．你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？

提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．

[例1] 判断下列问题是否是排列问题： (1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？ (3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点

排列的概念 x2y2

在x轴上的椭圆方程2＋2＝1?

ab[解] (1)是．选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．

(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．

1

(3)是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．

(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小一定．

排列的特点是“先取后排”，即先从n个不同的元素中取出m个元素，再按一定顺序把这m个元素排成一列．因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题．

1．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由．

(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果？ (2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果？

(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？

解：(1)不是排列问题；(2)是排列问题．

理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的位置无关，但做除法时，两元素谁做除数，谁做被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题．

(3)第一问不是，第二问是．

理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．

用列举法求简单的排列问题 [例2] (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？

(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． [解] (1)由题意作“树形图”，如下．

故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． (2)由题意作“树形图”，如下．

故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，

cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.

2

“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时．在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列．

2．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法． 解：如图所示的树形图：

故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，

DBAC，DCAB，共12种．

2A8＋7A8

[例3] (1)计算85；

A8－A9(2)求证：An－1＋mAn－1＝An.

2A8＋7A82×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5

[解](1)85＝ A8－A98×7×6×5×4×3×2－9×8×7×6×5＝8×

m5

4

54与排列数公式有关的计算或证明问题 mm－1m＋

－

m－1

＝1.

！n－！

＋m n－1－m！n－m！ (2)证明：An－1＋mAn－1＝＝＝

n－

n－

！n－m＋mn－m！

n！m＝An.

n－m！

若Ap＝(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)，求q的值．

解：∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个，

∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A69－n， ∴p＝69－n，q＝15.

对排列数公式的理解应注意以下两点：

(1)排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘．

(2)一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好．

3

15

q

3．(1)用An的形式表示

4

mx＋x－

3

！

(x≥2，x∈N＋)； ！

(2)解关于x的方程A2x＋1＝140Ax. (3)解不等式：A8<6A8. 解：(1)

xx－2

x＋x－！＝！

3

x－

！x－xx－！

x＋

＝(x－1)x(x＋1)＝Ax＋1. (2)由A2x＋1＝140Ax得

(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)， 由题意知x≥3，所以可变形为 (2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)， 整理得4x－35x＋69＝0，

23

解之得x1＝3，x2＝(舍去)，所以x＝3.

4(3)由排列数公式，得化简得1<

2

24

3

8！

<6·－x！－x，

8！

，

－x！

6－x即x－19x＋84<0， 所以7

又因为x∈N＋，0

若M＝A1＋A2＋A3＋…＋A2 018，则M的个位数字是( ) A．3 C．0

B．8 D．5

1

2

3

2 018

解题高手 妙解题 [尝试] [巧思] 因为An＝1×2×3×…×n，所以A5＝1×2×3×4×5＝120，故当n≥5时，An＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，其个位数字都是0.

[妙解] ∵当n≥5时，

An＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，

nn5

n 4