数学建模大赛一等奖作品

??1085.5??1763?B???2374.5???2908???3375.5数据向量为： Y??6951?1??1?? 1?1??431?

?660563504可得待定参数列为：

a?BBBY???,u???0.12,844.42?

则预测模型为：

??TT????1?1??0.12k??Xk?1??7036.83??7774.83

最后需要进行还原处理，作“生成数列”的逆运算，即进行还原处理得到交

通事故受伤人数的预测模型。

因为

X?1??k???xm?1k?0???x0?m??x?0??k??X?1??k?1??X?0??k?,k?1,2,?,n

m?1k?1?0??1??1??????k?1?,k?1,2,?,n Xk?Xk?X所以

利用MATLAB软件得出X1(k)和X0(k)的取值：

17

年份 k

X?1??k?

X?0??k?即

2006 738

表4.11 GM（1,1）预测模型计算一览表 2007 2008 2009 2010 1 1450.7 712.12

2 2083.8 633.11

3 2642.6 562.4

4 3145.8 499.58

2011 5 3589.6 443.78

预测序列

原始值 738 预测值

年份 k

X?1??k?

X?0??k?即预测

695 2012 6 3983.8 394.21

660 2013 7 4334 350.18

563 2014 8 4625 311.07

504 2015 9 4921.4 276.32

431 2016 10 5166.8 245.46

序列 原始值 预测值

436.701

387.319

433.523

304.675

270.244

MATLAB软件的出预测分析图，如下表所示：

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图4.1 MATLAB 预测分析图

残差检验和后验差检验，其结果为： 方差比 C=0.435<0.45 合格 小误差概率 P=1>0.95 好

上述结果说明建立的灰色预测模型通过检验，且模型的精度为I 级，精度好。（参照表1） 4.2.3 建立模型Ⅲ

多元线性回归模型可以用于预测对象Y受多个因素X1,X2,X3,?XP影响的情况。P元线性回归模型：

?yi??0??1xi1???pxip??,i?1,2,?n ?2??i~N?0,??且相互独立，用最小二乘估计法求未知参数?0,?1,??p的最小二乘估计。 记

Q?Q??0,?1,?,?P????yi??0??1xi1???pxip?

2??Q??2??yi??0??1xi1???pxip??0????0j?1,2,3,?p 令 ??Q???2??yi??0??1xi1???pxip??0,????j

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整理的正规方程组（3）：

?n?0??xi1?1????xip?p??yi?2??xi1?0??xi1?1????xi1xip?p??xi1yi?????22??xip?0??xip????x?ip?p??xipyi1?（3）

其解记为01元线性回归方程（4）：

???

?,?,?,?p，即为?0,?1,?,?p的最小二乘估计。从而P

????y??0??1x1????pxp

4.2.4 建立优化模型Ⅳ

基于以上两种预测模型建立优化组合模型

组合预测就是利用以上两种不同的单项预测法对同一预测对象进行预测，然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果。

目前关于权系数的计算方法很多，主要分为主观赋值法、客观赋值法、试算比较法，客观赋值法就是根据一定的理论或标准通过代数计算等确定权值，例如误差绝对值之加权和最小法、误差平方和最小法、方差极小值法等，本文采用求方差极小值法，该方法简单实用，掌握起来也不难。

设f1是灰色GM(1,1)的预测值，f2是多元回归预测值，f3是最优组合预测值，预测误差分别为?1，?2，?3，取?1 和?2是相应权系数，且?1??2?1，有

f3??1f1??2f2

则误差ε及方差D分别为

?3???1???2

122D(?3)??1D(?1)??2?1,?2) 2D(?2)?2?1?2cov(关于?1对D(?3)求极小值，可得?1?D(?2)?cov(?1,?2)

D(?1)?D(?2)?2cov(?1,?2)显然可取，cov(?1,?2)?0，记 D(?1)?Φ1， D(?2)?Φ2，则组合模型的权系数分别为：

?1?Φ1Φ2，?2?，由此我们可得最优组合预测模型。

Φ1?Φ2Φ1?Φ2 20