2020高考数学刷题首选卷单元质量测试(三)三角函数、解三角形与平面向量理(含解析)

2πππ5π

由于θ∈0，，所以θ＋∈，，

3666

π

当θ＝时，四边形OACB的面积取得最大值163．

3

20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且2R(sinB－sinA)＝(b－c)sinC，c＝3．

(1)求角A的大小；

(2)若AD是BC边上的中线，AD＝2

2

2

2

19

，求△ABC的面积． 2

解 (1)因为2R(sinB－sinA)＝(b－c)sinC，所以2RsinBsinB－2RsinAsinA＝(b－

c)sinC，

所以bsinB－asinA＝bsinC－csinC， 即b－a＝bc－c，即b＋c－a＝bc，

2

2

2

2

2

2

b2＋c2－a21

所以cosA＝＝，A＝60°．

2bc2

(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC， 在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝19， 由余弦定理得AE＝AB＋BE－2AB·BEcos120°， 12

即19＝9＋BE－2×3×BE×－，

2解得BE＝2(负值舍去)，所以AC＝2． 1

故S△ABC＝AB·ACsin∠BAC

21333＝×3×2×＝． 222

21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，3cosx)，f(x)＝m·n－

3

． 2

2

2

2

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

?π?(2)若方程f(x)＝a在区间?0，?上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．

2??

解 (1)f(x)＝m·n－3

2

5π?33?＝－sin2x＋cos2x＝3sin?2x＋?． 6?22?

33332

＝－3sinxcosx＋3cosx－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－2222

5πππ

当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，

626函数f(x)取得最大值3．

5π?5π11π??π?，(2)由于x∈?0，?时，2x＋∈?．

2?6?6?6??而函数g(x)＝3sinx在区间?又g?

?5π，3π?上单调递减，?3π11π?上单调递增．

在区间?，?2?6??6?2?

?11π?＝－3，g?3π?＝－3，g?5π?＝3．

??2??6?2

2?6?????

?π?结合图象(如图)，所以方程f(x)＝a在区间?0，?上有两个不同的实数根时，a∈

2??

3??

?－3，－?．

2??

22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA＝2sinC，2b＝3c．

(1)求cosC；

(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，且△ABC的面积为解 (1)∵sinA＝2sinC，∴a＝2c．

322

?2c?＋c－c2222

2a＋b－c7

于是，cosC＝＝＝．

2ab38

2×2c×c2715

(2)由(1)知cosC＝，∴sinC＝．

881315315

∵S△ABC＝·2c·c·＝，

2284∴c＝4，c＝2，则a＝4，b＝3． ∵BD为∠ABC的平分线， ∴＝＝2，∴CD＝2AD． 又CD＋AD＝3，∴CD＝2，AD＝1．

2

315

，求BD的长． 4

aCDcAD

7222

在△BCD中，由余弦定理可得BD＝4＋2－2×4×2×＝6，

8∴BD＝6．