论文正文21

图8有阻尼的弹簧质量振动系统

分析：

???Kx?f 1 由简化模型列写无阻尼受迫振动方程Mx?m??2k?,K???kM??m?????m????0?k2k?k0???1???k?,f?Fsti n??1????k???1?

2 求固有频率和正则振型

???Kx?f，K?p2M?0 Mx

p1?0.445kkk,p2?1.247,p3?1.802mmm

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列

?(2k?mp2)(k?mp2)?k2?adjB??k(k?mp2)2?k?1得主振型和正振型矩阵 A????0.4450.8021.000?

T????? ?? A?2????1.247?0.5551.000?

T A(3)??1.802?2.247?1. 0 0 0

T

?0.328?0.7370.591?1?? AN?0.591?0.328?0.737?m???0.7370.5910.328??3 进行坐标变换

x?ANxN ??Ni?pi2xNi?QNisi?xnti?1,2,3

??Ni?2?ipix?Ni?pi2xNi?QNisin?t i?1,2,3 x 9

xN1?????????xN2??2??????xN3i??p1?0??0?0p20?N1??p120??x????0?x??N2???0????N3?p3??x??002p200??xN1??F?????T?0??xN2??ANF??sin?t2?????p3?F???xN3??QN1??1.656???F????0.474sin?t?Q?N2??m??0.182??QN3?????

4 关于对正则坐标的响应

?1.2136sin(?t??1)??m?xN?F??14.784sin(?t??2)?

k?0.1079sin(?t??)?3??5 求出系统的响应

x?ANxN

?x1??0.328?0.7370.591??1.2136sin(?t??1)???F????14.784sin(?t??)?x?0.591?0.328?0.737?2?2????k?x????0.328??3???0.7370.591??0.1079sin(?t??3)?

?0.398??10.896??0.064??????FFF???0.717?sin(?t??1)??4.849?sin(?t??2)???0.080?sin(?t??3)k?k?k????0.894?8.737?????0.035?4 对系统能量进行分析

4.1无阻尼系统的能量

在阻尼可以略去不计的前提下，系统在自由振动中任一时刻的机械能保 持常值[6]。Ek?Ep?常数

取各个物理坐标xi（i?1,2,3…，n）作为广义坐标，系统的动能可表示为 Ek?1?i2 (14) mix?2122xx(-)+ kknxn?i?1ii2i?1?ki)x-?kixixi?1 （15）

2i系统的势能可表示为

11 Ep=k0x12+

221=2n?1?(ki?1nn?1i?1i?1???Kx?f 广义坐标等同于物理坐标将它们代入方程，可得Mx其中x =[x1…xn]，f=[F1...Fn]，M=diag[mi], K=trid[kij]

kii=ki?1+ki, i?1,2,3,?,n ki,i?1=ki?1,i,i??ki , i?1,2,3,?,n-1

4.2三质点三弹簧系统的能量

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E?Ek?Ep

?1??x11111?22??1x?2x?3?M??12+m2x?2?3?i2=m1xx+m3x=?x Ek??mix2??2i2222?x???3?Ep=

2111（k2+k1）x12+（k3+k2）x2-k1x1x2-k2x2x3=xTKx 222?x1???1xxx=?123?K?x2? 2?x??3?4.3弹簧与阻尼器串联的线性系统能量

由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换。

从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义，

这也得到系统的总能量守恒[11]。

由于系统能量无交换，且系统为阻尼系统，存在内耗能Ed

系统的能量 E=Ek+Ep+Ed (16)

系统的动能 Ek?11T?Mx?i2=x? (17) mix?221系统的势能 Ep=

2?(ki?1?ki)x-?kixixi?1 =

2inn?1i?1i?11TxKx (18) 212?x cnn211系统的内耗能 Ed =c0xi2+

221 =

2??c(xi2?x-)+i?1in?1i?1?i?1n?1?i?1 ?-?cix?ix(ci?1+ci)x2i =

1T?i (19) ?Cxx2考虑到，本系统中广义坐标等同于物理坐标，因而广义力就等同于扰力，即：

Qi=Fi， i?1,2,3,?,n

将它们代入方程，可得

M??x?C?xK?x， C=trid[cij]

cii=ci?1+ci, i?1,2,3,?,n ci,i?1=ci?1,i=-ci, i?1,2,3,?,n-1

实质为在原无阻尼系统添加阻尼器产生的阻尼干扰项Ed（系统内耗能）

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得到系统能量是有关于时间的变量，因此，在机械和工程中需要合理运用系统，降低系统之间的耗能和阻尼振，使系统的能量损耗逐渐降低，提高利用率。 4.4有阻尼三质点三弹簧系统能量 给上面（16-18）式代入i=3得：

?1??x1111?22??1x?2x?3?M??12+m2x?2?3x Ek=m1x+m3x =?x2? ?2222?x???3?Ep=

2111（k2?k1）x12+（k3?k2）x2-k1x1x2-k2x2x3=?x1222x2x3??x1???K?x2? ?x??3?Ed=

12?i?1n?1?1??x1???1x?2x?3?C??i?1=?x?i2-?cix?ixx(ci?1+ci)x?2? 2i?1?x???3?n?15．结论

本文对三质点三弹簧系统进行研究，得到系统的固有频率和主振型仅取决系统本身的刚度、质量等物理参数；系统对初始条件和对激励的响应运用主振型变换和正则振型变换得到其和时间有关，尤其是有扰力的激励响应，系统的位移和速度都会产生衰减；无阻尼系统的能量机械能守恒，动能和势能相互转化，但对于有阻尼系统，由于各阶主振动独立产生内耗能，但总能量守恒，仍然是有关时间的变量。通过此研究，得到多自由度系统的能量会受到振型的正交性影响，为提高能量利用率，应该尽可能克服系统的耦合。

（指导老师：张宁宁）

参考文献

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5-9-18(3):1.

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[10] 梁红,刘淑兰.多自由度系统耦合分析学案[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版)

2003,21(3):3.

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[11] 倪永军,谢长生.无阻尼系统和有阻尼系统[J].沈阳大学学报2003,11(10)：2.

Vibration Analysis of Three-Particle Three Spring

CHEN Mei-ling

（Physics,Class 1,Grade 2009, School of Physics and Electrical Engineering,Weinan

Normal University）

Abstract:The Multi-freedom vibration system is researched by taking a three-particle spring vibration system as an example. In order to conduct an in-depth study, using the natural frequency of the vibration mode transformation and the regular modes transform analysis to research the system’s natural frequencies and main mode shapes, Focus on the response that the analysis of undamped system give to the initial conditions and incentives. Finally, the energy of the system were analyzed .So the effective theoretical guidance for providing engineering machinery efficiency were provided by this study.

Key words: Natural frequency;Undamped system;Damping system;Stimulus-resp onse;Energy

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