2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题答案凯程首发

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解，

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求方程组ATAx?AT?的通解 【解析】

（Ⅰ）由方程组Ax??无解，可知r(A)?r(A,?)，故这里有A?0，

1A?11?a10a?0?a?0或a?2。由于当a?0时，r(A)?r(A,?)，而当a?2a?11a?1时，r(A)?r(A,?)。综上，故a?0符合题目。

?322???1???T??T（Ⅱ）当a?0时，AA??222?,A????2?，故

?222???2??????322?1??1001?????(ATA,AT?)??222 ?2???011 ?2?，

?222?2??0000??????0??1?????因此，方程组ATAx?AT?的通解为x?k??1????2?,其中k为任意实数。

?1??0?????（21）（本题满分11分）

?0?11???已知矩阵A??2?30?.

?000???（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)，满足B?BA，记B100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示为?1,?2,?3的线性组合。 【解析】

（Ⅰ）利用相似对角化。

299?0????1由?E?A?0，可得A的特征值为?1?0,?2??1,?3??2，故A~????. ??2??? 第 9 页 共 9 页

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?3???当?1?0时，由(0E?A)x?0，解出此时A的属于特征值?1?0的特征向量为?1??2?;

?2???当?2??1时，由(?E?A)x?0，解出此时A的属于特征值?2??1的特征向量为

?1???2??1??;

?0???当?3??2时，由(?2E?A)x?0，解出此时A的属于特征值?3??2的特征向量为

?1???3??2??.

?0????311??0??????1?1?????1A?P?P设P?(?1,?2,?3)??212?，由PAP可得，??200???2?????A99?P?99P?1，

1??00??311?2??????1对于P??212?，利用初等变换，可求出P??2?1?2?，故

?200??1?????11?2??1??00991?299?311??0??2???2?2???????100100A99?P?99P?1??212???12?1?2??2?21?2????99???200?????2?100?????11??2??

（Ⅱ）B?22?298??2?299?0??BA?3B?BB?2A?B2A??BAA?0B1?A?于B，由

BAB?(?1,?2,?3)，

B100?(?1,?2,?3)9，故

(?1?,?2A9?,?3??2?9???)??1?0???29?(?1?1??2?，因此，,? 30??20,00?1) 第 10 页 共 10 页

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?1?(?2?299)?1?(?2?2100)?2,?2?(1?299)?1?(1?2100)?2,?3?(2?298)?1?(2?299)?2.

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?上服从均匀分布，令

??x,y?0?x?1,x2?y?x??1,X?Y U???0,X?Y（I）写出(X,Y)的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求Z?U?X的分布函数F(z). 【答案】

2??3,0?x?1,x?y?x（I）f?x,y???

??0,其他11?1??1???PU?,X??PU?PX?UX??????； （II）与不独立，因为

2222??????（III）Z的分布函数

?0,z?0?3?z2?z3,0?z?1?FzZ??2 3132??2?z?1?2??z?1?,1?z?2?22?1,z?2?【解析】（1）区域D的面积s(D)?分布，所以

12(x?x)?，因为f(x,y)服从区域D上的均匀?031??3x2?y?xf(x,y)??.

其他??0（2）X与U不独立. 因为P?U???11??1??1?1,X??=P?U=0,X??=P?X?Y,X??? 22??2??2?121?1?1?1?P?U???,P?X???

2?2?2?2?

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所以P?U???11?1??1??,X???P?U??P?X??,故X与U不独立。 22?2??2??（3）F(z)?P{U?X?z}?P{U?X?zU?0}P{U?0}?P{U?X?zU?1}P{U?1}

?P{U?X?z,U?0}P{U?X?z,U?1}P{U?0}?P{U?1}

P{U?0}P{U?1}?P{X?z,X?Y}?P{1?X?z,X?Y}

??0,z?1??0,z?0?3?3??3232P{X?1?z,X?Y}?2(z?1)?(z?1)2,1?z?2 ?又P{X?z,X?Y}??z?z,0?z?1，

2??21?1?,z?2,z?1???2?20,z?0??323?z?z,0?z?1?2所以F(z)??. 3?1?2(z?1)2?3(z?1)2,1?z?2?22?1,z?2??3x2,0?x???（23）设总体X的概率密度为f?x,?????3，其中???0，???为未知参数，

?0,其他?X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令T?max?X1,X2,X3?。

（1）求T的概率密度

（2）当a为何值时，aT的数学期望为?

【解析】（1）根据题意，X1,X2,X3独立同分布，T的分布函数为

FT(t)?P{max(X1,X2,X3)?t}?P{X1?t,X2?t,X3?t}

}P{XtP{3X? ?P{X1?t2?}当t?0时，FT(t)?0；

}?t?{P1X?? }t3 第 12 页 共 12 页

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?t3x2?t9当0?t??时，FT(t)???3d???9；

?0???当t?0时，FT(t)?1，

3?9t8?,0?t??所以fT(t)???9。

?0,others?（2）E(aT)?aET?a根据题意， E(aT)?

??0t9t8?9dt?9a?， 10109a???，即a?

910 第 13 页 共 13 页