厦大《高代》讲义第6章+特征值 - 图文

对角化问题_5

命题: 设?是n维线性空间V的线性变换, λ是的特征值. 设λ是?的特征多项式的m重根(λ的代数重数为m), λ的特征子空间Vλ的维数为t (λ的几何重数), 则有t≤m.?命题’: 设A是n阶方阵, 是A的特征值. 设λ是A的特征多项式的m重根(λ的代数重数为m), λ的特征子空间Vλ的维数为t (λ的几何重数), 则有t≤m.?

厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116对角化问题_6?定理:设?是数域K上n维线性空间V的线性变换, 则下列命题等价(1). ?可对角化；(2). ?有n个线性无关的特征向量；V?V?1?V?2???V?s.这里?1,?2,?,?s是?的(3). 全部互异特征值；sdimV?n?(4). .这里是的全部互异?,?,?,??i?1i12s特征值；(5). ?的所有特征根在K上并且任意特征值的代数重数等于几何重数.厦门大学数学科学学院?网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116对角化问题_7

判断A是否可对角化和求可逆阵P的方法:1. 求fA(?)的全部互异特征值?i,及代数重数mi,1?i?s;2. 求V?的一组基?i1,?i2,...,?it,1?i?s;3. 若有某ti?mi, 则A不可对角化; 若所有ti?mi,则A可对角化. 4. 令P?(?i1,...,?iti,...,?s1,...,?sts),则??I?注1:因为特征向量???I??不唯一, 故P不唯一PAP??.????注2:注意列向量与特???I??征值的对应关系.?

ii1t1?12t2sts厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116例子

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例1:判断A是否相似对角阵, 若是, 求出可?1逆阵P, 使PAP是对角阵. ?010??100?????(1)A??001?(2)B???25?2??000???24?1??????

10??例2:计算A10, 其中A???.?1?2??

例3:设3阶矩阵A的特征值为1,1,2, 对应特征向量依次为(2,1,0)?,(?1,0,1)?,(0,1,1)?, 求矩阵A. 厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116