厦大《高代》讲义第6章+特征值 - 图文

复习:直和等价命题_2个子空间

设V1, V2是线性空间V的子空间, 则下列命题等价：1) 和V1 + V2是直和

2) 记V0= V1+V2, 则0向量的分解唯一3) 记V0= V1+V2, 则任一向量的分解唯一4) V1, V2的基可凑成V1 + V2的基5) dim (V1 + V2) = dim(V1) + dim(V2)

厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn

IP: http://59.77.1.116

复习:直和等价命题_多个子空间

设V1,V2, … ,Vs是线性空间V的子空间, 则下列命题等价: 1) 和V1+V2+…+Vs是直和

2) 记V0 = V1+V2+…+Vs, 则???V0，存在唯一?i?Vi，i?1,2,...,s,使得???1??2????s3)对任意的i , 都有

Vi∩( V1 +V2 +…+Vi -1) = 0

4) dim (V1+V2+…+Vs) = dim(V1)+dim(V2)+…+dim(Vs)

厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn

IP: http://59.77.1.116

对角化问题_3

?

命题: 设?1,?2,...,?k是数域K上n维线性空间V上线V?是?属于特征值?的特征性变换?的不同特征值, ii子空间, 则V?1?V?2???V?k?V?1?V?2???V?k.?

A?K命题’: 设n?nV, 征值是A的属于特征值?i的特征子空间, 则?iV?1?V?2???V?k?V?1?V?2???V?k.厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116,?1,?2,...,?k?K是A的互异特对角化问题_4

推论: 线性变换?属于不同特征值的特征向量必线性无关.?推论’: 矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关.?推论: 线性变换?有n个不同特征值, 则必存在V的某组基, 使?在其下的表示矩阵为对角阵?必可对角化). 反之未必.( ?推论’: 矩阵A在K上有n个不同特征值, 则必?1存在可逆矩阵P, 使PAP为对角阵(A必可对角化). 反之未必.?

厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116