厦大《高代》讲义第6章+特征值

§6.2 目的与要求

????

掌握矩阵(线性变换)可对角化的定义;

理解和计算特征值的代数重数和几何重数;掌握可对角化的等价命题;

能判断一个矩阵是否可对角化, 在可对角化时将其对角化.

厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cn

IP: http://59.77.1.116

对角化问题_1

?

定义:设?是数域K上n维空间V的线性变换, ?是可对角化的, 如果存在V的一组基, 使得?在此基下的矩阵是对角阵.定义’:设A是数域K上n阶方阵, 称A是可－1对角化的, 如果存在可逆阵P, 使得PAP为对角阵.厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116?

对角化问题_2

?

注1:若?在某组基下的表示矩阵是对角阵, 则对角元在不考虑排列顺序的条件下是唯一确定的, 他们恰是?的所有特征值. 注1’:若A是K上可对角化矩阵, 即存在K上n?n?1可逆阵P?K,使得PAP为对角阵, 则该对角阵的对角元恰好为A的特征值. ?

厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116对角化问题_2?注2:若?在某组基?1,?2,...,?n下的表示矩阵是对角阵, 则?i恰是?(属于第i个对角元)的特征向量. 注2’:若A是K上可对角化矩阵, 即存在K上n?n?1可逆阵P?K,使得PAP为对角阵, 则P的列向量恰好为A的特征向量. ?

?

?或A)在C可对角化, 未必在K上可对注3: (角化. 因?(或A)在K上可能没有n个特征值.厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116