厦大《高代》讲义第6章+特征值 - 图文

极小多项式_5

?A1??命题: 设A???,A1,A2是方阵, 则A2??mA(x)?[mA(x),mA(x)].12引理: 设?0是A的特征值, 则(x??0)|mA(x).mA(x)是?推论: 设?1,?2,...,?s是A的互异特征值, A的极小多项式, 则(x??1)(x??2)...(x??s)|mA(x).?

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??1a12?a1n???0?2?a2n???引理: 若A= , 则fA(A)=0.????????00????n??Cayley-Hamilton定理:设A是数域K上n阶方阵, fA(x)是A的特征多项式, 则fA(A) = 0.?推论: mA(x) | fA(x).?推论: 在不计重数的情况下, fA(x)与mA(x) 有相同的根.?推论: 设??L(V),则f?(?)?0.?

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例2: 设A是n阶可逆阵, 求证A-1 = g(A), 其中g(x)是一个n-1次多项式.例3: 举例说明特征值相同的矩阵未必相似, 极小多项式相同的矩阵未必相似.例4: 设A, B是n阶方阵, fA(x), mA(x)分别是A的特征多项式和极小多项式, mB(x)是B的极小多项式. 若(mA(x), mB(x))=1, 求证: (fA(x), mB(x))=1.厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116例子

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例5: 设A, B为n阶方阵, fA(x), mA(x)分别为A的特征值和极小多项式, mB(x)是B的极小多项式. 若(mA(x), mB(x))=1, 求证: fA(B)是非异阵.厦门大学数学科学学院网址:http://gdjpkc.xmu.edu.cnIP: http://59.77.1.116