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四、计算题或推导证明题：本题共3 题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位． 13．（14分）解：⑴因为不计摩擦力及绳子和滑轮质量，所以士兵在整个运动过程中机械能守恒，而且士兵处于绳子的正中间时速度最大，如图。

由机械能守恒得：

1mv2max?mg?h 2由几何关系及已知可得：?h?L2?d2L2?d2 ?22L速度的最大值vmax?gL2?d2(L?L2?d2)

L⑵求士兵运动的轨迹方程

因为绳子两端固定，且绳长一定，所以可知士兵作一部分椭圆轨道运动，建立如图坐标可得士兵运动的轨迹方程为：

ddx2y21x2y2x?[?,],y?0 ?? 即；?2?1L2L?d222L2L2?d24()2414．（15分）解：（1）证明：带电体由A→B根据动能定理有W电??EK?EKB?EKA 又有

W电???Ep?EPA?EPB

联立两式得：EKB?EKA?EPA?EPB

由上式变形得：EKA?EPA?EKB?EPB 结论得证。（2）带电体由A→B根据动能定理有解得vB?W电??EK?EKB?EKA?12mvB 22as?4.0m/s

设带电体运动到圆轨道B端时受轨道的支持力为N，根据牛顿第二定律有

2N?mg?mvB/R

解得N?mg?mvB/R?5.0N

根据牛顿第三定律可知，带电体对圆弧轨道B端的压力大小N??N?5.0N

（3）因电场力做功与路径无关，所以带电体沿圆弧形轨道运动过程中，电场力所做的功

2

W电?qER?0.32J

设带电体沿圆弧形轨道运动过程中摩擦力所做的功为W摩，对此过程根据动能定理有

12W电?W摩?mgR?0?mvB

2解得 W摩 =－0.72J

15．（18分）解：为研究方便，建立如图所示坐标系 （1）由E1q=

12mv得， 2带电粒子离开区域Ⅰ时的速度

v?2E1qd1?2?104m/s， m方向沿y轴正向。

（2）带电粒子在区域Ⅱ内运动时，只受洛仑兹力，且不做功，所以带电粒子离开区域Ⅱ时的速度大小仍为v?2?10m/s 方向：由图中几何关系可知：sin??4d1， R1又由B1qv?mv12R1得：R1?mv B1q2?，即??45 2联立代入数据得：R1?10cm，sin??所以带电粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与x轴正向夹45°。

（3）如果将带电粒子离开区域Ⅱ也即进入区域Ⅲ时的速度分解成vx和vy， 则有vx=vy=vsin45=2?10m/s， 所以B2qvx?B2qvy?1.28?10又因为E2q?1.28?10?17?4?17N，B2qvx方向沿y轴反向，B2qvy方向沿x轴正向，

N，方向沿y轴正向，即E2q与B2qvx抵消。

所以带电粒子在区域Ⅲ中运动可视为沿x轴正向的速度为vx的匀速直线运动和以速率为vy以及对应洛沦兹力B2qvy作为向心力的匀速圆周运动的叠加。轨迹如图所示。

圆周运动半径为R2?mvyB2q=10cm，

周期T=

2?m?5=2??10s B2q所以只要带电粒子运动到轨迹最低点C时不出区域Ⅲ，就可回到区域Ⅰ的上边缘。

所以区域Ⅲ的宽度应满足d3>h 由上面的运动分析可知，带电粒子到最低点，圆周运动刚好转过

T， 4所以h=R2?mvyB2q=0.1m=10cm

所以d3>10cm

（4）根据运动的对称性可知，带电粒子回到区域Ⅰ的上边缘的B点，距A点的距离为：

d=2[（1—cosθ）R1+R2+vy·d=40+10π—102=57.26cm

T]代入数据得： 4