第八章 空间解析几何答案

第八章 空间解析几何与向量代数

§8.1向量及其线性运算 1.填空题

（1）点(1,1,1)关于xoy面对称的点为（(1,1,?1)），关于yoz面对称的点为（(?1,1,1)），关于xoz面对称的点为（(1,?1,1)）.

（2）点(2,?1,2)关于x轴对称的点为（(2,1,?2)），关于y轴对称的点为（(?2,?1,?2)），关于z轴对称的点为（(?2,1,2)），关于坐标原点对称的点为（(?2,1,?2)）.

2. 已知两点M1(1,1,1)和M2(2,2,1)，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

解：因为M1M2?(1,1,0)，故|M1M2|?2，方向余弦为cos??22，cos??2???2，cos??0，方向角为??4，??4， ??2.

3. 在yoz平面上，求与A(1,1,1)、B(2,1,2)、C(3,3,3)等距离的点. 解：设该点为(0,y,z)，则

1?(y?1)2?(z?1)2?4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，

即???1?(z?1)2?4?(z?2)2?z?3??4?(y?1)2?(z?2)2?9?(y?3)2?(z?3)2，解得??y?3，则该点

为(0,3,3).

4. 求平行于向量a?2i?3j?4k的单位向量的分解式.

解：所求的向量有两个，一个与a同向，一个与a反向. 因为

|a|?22?32?(?4)2?29，所以ea??129(2i?3j?4k).

5. 已知点B(1,?2,6)且向量AB在x轴、y轴和z轴上的投影分别为?4,4,1，

求点A的坐标.

解：设点A的坐标为(x,y,z)，由题意可知(1?x,?2?y,6?z)?(?4,4,1)，则x?5,y??6,z?5，即点A的坐标为(5,?6,5). §8.2 数量积 向量积 1.若|a|?3,|b|?4,(a,?b)??3，求c?3a?2b的模.

解：|c|2?(3a?2b)?(3a?2b)?3a?3a?2b?3a?3a?2b?2b?2b

??9|a|2?12a?b?4|b|2?9?32?12?3?4?cos3?4?42?73

所以|c|?73.

2.已知|a?b|?|a?b|，证明：a?b?0.

证明：由|a?b|?|a?b|，可得|a?b|2?|a?b|2，可知(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)，展开

可

得

|a|2?|b|2?2a?b?|a|2?|b|2?2a?b，即4a?b?0，故a?b?0.

3.

4.已知a?(1,2,4)，b?(3,?3,3)，求a与b的夹角及a在b上的投影. 解：a?b?1?3?2?(?3)?4?3?9，

cos??971?4?16?9?9?9?7，??arccos77. 因为a?b?|b|Prj9ba，所以Prjba?33?3.

5..

§8.3 曲面及其方程 1.填空题

（1）将xOz坐标面上的抛物线z2?4x绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（z2?y2?4x），绕z轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程

为（z2?4x2?y2）.

（2）以点(2,?3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为（(x?2)2?(y?3)2?(z?2)2?17）.

（3）将xOy坐标面的圆x2?y2?4绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x2?y2?z2?4）.

2.求与点A(1,2,1)与点B(1,0,2)之比为1:2的动点的轨迹，并注明它是什么

曲面.

解：设动点为P(x,y,z)，由于|PA|:|PB|?1:2，所以

2(x?1)2?(y?2)2?(z?1)2?(x?1)2?(y?0)2?(z?2)2，解

之

，

可

得

3x2?3y2?3z2?6x?16y?4z?19?0，即

(x?1)2?(y?8)2?(z?2)22033?9，所以所求的动点的轨迹为以点(1,82253,3)为心，半径为3的球面. 3

§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题

（1）二元一次方程组??y?2x?1在平面解析几何中表示的图形是（两相

?y?4x?3交直线的交点(2,5)）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z轴且过点(2,5,0)）.

（2）旋转抛物面z?x2?y2(0?z?2)在xOy面上的投影为

（??z?x2?y2?2），在xOz面上的投影为（x2?z?2），在yOz面上的投?z影为（y2?z?2）.

2.求球面x2?y2?z2?4与平面x?z?1的交线在xOy面上的投影方程.

解：将z?1?x代入x2?y2?z2?4，得x2?y2?(1?x)2?4，因此

投影方程为??z?0?2x2?2x?y2?3. 224.分别求母线平行于x轴、y轴及z轴且通过曲线???x?2y?z2?4??x2?y2?2z2?0的

柱面方程.

解：在???x2?2y2?z2?4?中消去x得3y2?z2?4，?x2?y2?2z2?0即为母线平行于x轴

且通过曲线的柱面方程.

在???x2?2y2?z2?4??x2?y2?2z2?0中消去y得3x2?5z2?4，即为母线平行于y轴且通过曲线的柱面方程.

在???x2?2y2?z2?422??x2?y2?2z2?0中消去z得x?5y?8，即为母线平行于z轴且

通过曲线的柱面方程.

4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：

（1）??(x?1)2?y2?z2?4?x?1.

?y解：将y?x?1代入(x?1)2?y2?z2?4得2(x?1)2?z2?4，即

(x?1)2z2(2)2?4?1. 令x?1?2cos?，z?2sin?，所求的参数方程为 ??x?1?2cos???y?2cos?. ???z?2sin?. §8.5 平面及其方程 1. 填空题

（1）一平面过点(1,1,?4)且平行于向量a?(2,1,?1) 和b?(1,0,1)，平面的点法式方程为（(x?1)?3(y?1)?(z?4)?0）,平面的一般方程为（x?3y?z?2?0）,平面的截距式方程（

xy2???z2?1）,平面的3?2

一个单位法向量为（

1111(1,?3,1)）. （2）设直线L的方程为??A1x?B1y?C1z?D1?0?A2x?B2y?C，当（D1?D2?0）

2z?D2?0时，直线L过原点；当（A1?A2?0）且（D1?0或D2?0有一个成立）时，直线L平行于x轴但不与x轴相交；当（

B1B?D1）时，直线L与y2D2轴相交；当（C1?C2?D1?D2?0）时，直线L与z轴重合. 2.求过三点(1,?1,1)，(3,1,?3)和(0,1,2)的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为

x?x1y?y1z?z1x?1y?1z?1x2?x1y2?y1z2?z1?3?11?1?3?1

x3?x1y3?y1z3?z10?11?12?1x?1y?1z?1?22?4=0，即5x?y?3z?7?0. ?1213.求过点(1,?1,1)且垂直于两平面x?y?2z?0和x?2y?5z?0的平面