2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题七选考内容教学案文

(2)若不等式f(x)≥x－x＋m的解集非空，求m的取值范围． －3，x＜－1，??

解：(1)f(x)＝?2x－1，－1≤x≤2，

??3，x＞2.当x＜－1时，f(x)≥1无解；

当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．

(2)由f(x)≥x－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x＋x.

3?255?22

而|x＋1|－|x－2|－x＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x＋|x|＝－?|x|－?＋≤，

2?44?352

且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x＋x＝.

245??故m的取值范围为?－∞，?.

4??

考点二 不等式的证明

[典例感悟]

2

2

2

?1??1?M为不等式f(x)＜2的解集．

[典例2] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝?x－?＋?x＋?，

?2??2?

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. [解]

??11

(1)f(x)＝?1，－＜x＜，

221?2x，x≥.?2

解得x>－1；

1

－2x，x≤－，

2

1

当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，

2

11

当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；

221

当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，

2解得x＜1.

所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1， 从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－ab－1＝(a－ 1)·(1－b)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|.

[方法技巧] 证明不等式的常用方法

不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．

(2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．

[演练冲关]

2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a＋b＝2.证明： (1)(a＋b)(a＋b)≥4； (2)a＋b≤2.

证明：(1)(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋ab＋b ＝(a＋b)－2ab＋ab(a＋b) ＝4＋ab(a－b)≥4.

(2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋＝2＋

3

3

2

2

3

2

22

3

32

33

4

4

5

5

6

5

5

6

5

5

3

3

2

2

2

2

22

2

2

a＋b4

2

(a＋b)

a＋b4

3

3

，

所以(a＋b)≤8，因此a＋b≤2.

考点三 含绝对值不等式的恒成立问题

[典例感悟]

[典例3] (2017·合肥质检)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m>0)． (1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；

(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围． －4，x≥1，??

[解] (1)当m＝1时，f(x)＝?－2x－2，－3

??4，x≤－3.

??－2x－2≥1，

由f(x)≥1，得?

?－3

或x≤－3，

3

解得x≤－，

2

?3?

∴不等式f(x)≥1的解集为?xx≤－?.

2??

(2)不等式f(x)<|2＋t|＋|t－1|对任意的实数x，t恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)<(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max<(|2＋t|＋|t－1|)min，

∵f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3，

3?3?∴4m<3，又m>0，∴0

4?4?

[方法技巧]

已知不等式恒成立求参数范围问题的解法 分离 参数法 更换 主元法 数形 结合法 [演练冲关]

3．(2017·洛阳统考)已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；

14

(2)若a＋b＝1，对?a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范围．

运用“f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数取值范围问题 对于一些含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法 在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直接解决问题 ab?1?－3x，－1≤x≤，2解：(1)由已知，得f(x)＝?1

x－2，x>，??2

函数f(x)的图象如图所示．

(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1， 14?14?∴＋＝?＋?(a＋b)

－x＋2，x<－1，

ab?ab?

?b4a?＝5＋?＋?≥5＋2?ab?

b4a当且仅当＝，

abb4a·＝9， ab12

即a＝，b＝时等号成立．

33

14

∵＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，

ab∴|2x－1|－|x＋1|≤3， 结合图象知－1≤x≤5， ∴x的取值范围是[－1,5]．

[课时跟踪检测] 1．(2017·云南调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)． (1)当m＝2时，求不等式f(x)≥6的解集；

(2)若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围． 解：(1)当m＝2时，f(x)＝|x＋1|＋|2－x|，

5

①当x<－1时，f(x)≥6可化为－x－1＋2－x≥6，解得x≤－；

2②当－1≤x≤2时，f(x)≥6可化为x＋1＋2－x≥6，无实数解； 7

③当x>2时，f(x)≥6可化为x＋1＋x－2≥6，解得x≥.

257

综上，不等式f(x)≥6的解集为xx≤－或x≥.

22(2)法一：因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|，

由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，解得m≥5或m≤－7，即m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．

－2x＋m－1，x

法二：①当m<－1时，f(x)＝?－m－1，m≤x≤－1，

??2x＋1－m，x>－1，此时，f(x)min＝－m－1，由题意知，－m－1≥6， 解得m≤－7，所以m的取值范围是m≤－7.

②当m＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|， 此时f(x)min＝0，不满足题意．

－2x＋m－1，x<－1，??

③当m>－1时，f(x)＝?m＋1，－1≤x≤m，

??2x＋1－m，x>m，

此时，f(x)min＝m＋1，由题意知，m＋1≥6，解得m≥5， 所以m的取值范围是m≥5.

综上所述，m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．