2019-2020年高考数学二轮复习第一部分专题七选考内容教学案文

代入ρ(cosθ－sinθ)＝4得ρ＝5，

所以交点M的极径为5.

[方法技巧]

解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法

(1)在参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先将其化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．

(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

[演练冲关]

3．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C??x＝2cos α，

的参数方程为?

??y＝2＋2sin α

2222

(α为

3

?x＝3－t，?2

参数)，直线l的参数方程为?

1y＝3＋t??2

2

(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴

的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极

?π?坐标为(23，θ)，其中θ∈?，π?. ?2?

(1)求θ的值；

(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值． 解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x＋(y－2)＝4， ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲线C的极坐标方程为

(ρcos θ)＋(ρsin θ－2)＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝∵θ∈?

3

， 2

2

2

2

?π，π?，

??2?

2π∴θ＝.

3

(2)由题，易知直线l的普通方程为x＋3y－43＝0， ∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0. 2π

又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，

3

2π?，?θ＝3ρ

联立，得?

??ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝43.

2π??∴点B的极坐标为?43，?，

3??∴|AB|＝|ρB－ρA|＝43－23＝23.

[课时跟踪检测] 1．(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是?

?x＝2＋tcos α，?

??y＝tsin α

2

2

(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ＋2ρsinθ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标； (2)在(1)的条件下，若|AP|·|AQ|＝6，求直线l的普通方程．

解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴C的直角坐标方程为x＋2y＝12. 直线l恒过的定点为A(2,0)．

(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得， (sinα＋1)t＋4(cos α)t－8＝0. 由t的几何意义知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|. ∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根， 8

∴t1t2＝－2，

sinα＋1∵|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝6， ∴

812

＝6，即sinα＝， 2

1＋sinα3

2

2

2

2

2

2

∵α∈(0，π)， ∴sin α＝

36

，cos α＝±， 33

2

， 2

∴直线l的斜率k＝±

因此，直线l的方程为

y＝

22

(x－2)或y＝－(x－2)． 22

??x＝2cos φ，2．(2017·郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?y＝sin φ?

(φ

?π?为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为?3，?，半径为

2??

1的圆．

(1)求曲线C1的普通方程，C2的直角坐标方程；

(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围． 解：(1)消去参数φ可得C1的普通方程为＋y＝1.

4由题可知，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)， ∴C2的直角坐标方程为x＋(y－3)＝1.

(2)设M(2cos φ，sin φ)，曲线C2的圆心为C2， 则|MC2|＝

2

2

2

2

x2

2

φ

2

＋φ－

2

＝

2

4cosφ＋sinφ－6sin φ＋9＝－3sinφ－6sin φ＋13 ＝－

φ＋

2

＋16.

∵－1≤sin φ≤1，∴|MC2|min＝2，|MC2|max＝4. 根据题意可得|MN|min＝2－1＝1，|MN|max＝4＋1＝5， 即|MN|的取值范围是[1,5]．

?x＝－5＋2cos t，

3．(2017·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?

?y＝3＋2sin t

(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方π??程为ρcos?θ＋?＝－2. 4??

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

解：(1)由?

?x＝－5＋2cos t，?y＝3＋2sin t，

2

2

消去参数t，得圆C的普通方程为(x＋5)＋(y－3)＝2. π??θ＋由ρcos?＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 4???所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

?π?(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，B?2，?.

2??

设点P的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t)，则点P到直线l的距离为

d＝

?－6＋2cos?t＋π??????4??|－5＋2cos t－3－2sin t＋2|??

2

42

＝22.又|AB|＝22，

＝

2

，

所以dmin＝

1

所以△PAB面积的最小值是Smin＝×22×22＝4.

2

4．(2018届高三·西安八校联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π).

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：?

?x＝3t＋3，?y＝－3t＋2

(t为参数)的距离最短，并求出点D的直角坐标．

解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0,2π)，可得ρ＝2ρsin θ. 因为ρ＝x＋y，ρsin θ＝y，

所以曲线C的直角坐标方程为x＋(y－1)＝1. (2)由直线l的参数方程?

2

2

2

2

2

2

?x＝3t＋3，?y＝－3t＋2

(t为参数)，

消去t得直线l的普通方程为y＝－3x＋5.

因为曲线C：x＋(y－1)＝1是以G(0,1)为圆心、1为半径的圆，(易知C，l相离) 设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－3x＋5的距离最短， 所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行． 即直线GD与l的斜率的乘积等于－1，即又x0＋(y0－1)＝1， 可得x0＝－

333(舍去)或x0＝，所以y0＝， 222

2

22

2

y0－1

×(－3)＝－1， x0

即点D的直角坐标为?

?33?

，?. ?22?

5．(2018届高三·广东五校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

?x＝2cos α，?

?y＝sin α

(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2

π??的极坐标方程为ρsin?θ＋?＝42. 4??