概率统计复习试题

?1?,∴ f(x, y)=fX(x)fY(y)=?4??0,(2) P{X?Y?}?0?x?20?y?2其它

32??x?y?320f(x,y)dxdy?323?x20x?y?1??34dxdy

2=

?dx?19dy=

3248．

?0?0.4?解: （1）F(X)???0.7??1X??2?2?X?0

0?X?2X?2 （2）E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8, E(3X2?5)?3E(X2)?5?13.4, 9．

解：（1）（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

?3e?3x, x?0 ;?4e?4y, y?0 ;fX (x)＝?和 fY (y)＝ ? ，

0, 其它.0, 其它.??

（2）因对于任意的(x,y)?R, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝

?3x1012?1100?(3x?4y)?3x?4y12edxdy?3edx?4edy ???00???? ＝(?e

)(?e?4y)?(1?e?3)(1?e?4).

0

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四、统计推断题

1．

解: 样本X1,...,Xn的似然函数为:

L(x1,...,xn,?)?(2?)?n/21nexp[??(xi??)2]

2k?11n2而lnL(x1,...,xn,?)??n/2ln(2?)?[?(xi??)]

2k?1d(lnL(x1,...,xn,?))n 令: ??(xi??)?0,

d?k?11n1n???xi ?的最大似然估量????Xk 解得:?nk?1nk?11n?)?E(?Xk)??, 它为?的无偏估计量. E(?nk?1

2．

(1) fx;?,??2??ni?112??1exp??2?x???? 2???2??12??1exp??2?xi???? 2???2??L??,?2?????1?n?lnL?x?n??2??i??0????i?1??令 ? n?n12?2lnL??2?x????02??i22????2???i?1?21n??X,?????Xi?X? 解之得 ?ni?12

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(2) 因为 X1, X2, ?, Xn 独立同分布，且E(Xi )=μ , 所以 1?1n?1n E(X)?E??Xi???E(Xi)??n???；n?ni?1?ni?1

即X是?的无偏估计量 另一方面，因为

nnnn 22222(X?X)?X?2XX?nX?X?nX,??iiii i?1i?1?i?1?i?1

注意到

2?22 E(X)?D(X)?[E(X)]???2,n

E(Xi2)?D(Xi)?[E(Xi)]2??2??2,于是，有

1?n2

E(Sn)??E(Xi2)?nE(X2)?? ?i?1?n?

?n?12??21? 222? ??n(???)?n??n????? ?n?. n????

1n????Xi???2不是未知参数?2的无偏估计。 所以，?ni?12

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