信号与系统考试试题及答案

f(?t)2?4?2f(?0.5t)20?22t?8?40?24tf(?0.5t?1)

2?10?8?6?4?20?22t

图A-7

3、已知一LTI离散时间因果系统的零极点分布如图A-2所示，图中?表示极点，0表示零点，且H(?)?4，试求该系统的单位脉冲响应h[k]，并判断系统是否稳定。

Im(z)?-3-2?-10Re(z)

图A-2

3、由题意可知，系统函数为

H(z)?因为H(?)?4，所以k?4，因此，有

kz(z?2)(z?1)(z?3)

H(z)?4z(z?2)zzz?2?2ak?(k)?(z?1)(z?3)z?1z?3，由z?a得

由于系统的全部极点在单位圆以外，所以，系统不是稳定的。

4、某连续LTI时间系统得频率响应H(j?)如图A-3所示，试求：

H(j?)1-4-2024h(k)?2[(?1)k?(?3)k]?(k)

?

图A-3

（1）系统的单位冲激响应h(t)；

（2）输入f(t)?1?0.6cost?0.4cos3t?0.2cos5t,???t??，系统的输出y(t)。 4、（1）因为

1又因为?1H?(j?)??[g2(??3)?g2(??3)]?[?(??2)??(??2)]2

Sa(t)?g2(?)，由调制定理，可得

1?

Sa(t)sin(3t)?1[g2(??3)?g2(??3)]2j

即

1Sa(t)sin(3t)??[g2(??3)?g2(??3)]?2

由于sin(2t)??j?[?(??2)??(??2)]，即

?jj1?j?jth(t)??[Sa(t)sin(3t)?sin(2t)]sin(2t)??(??2)??(??2)由频域微分性质，可知：?jth(t)?H?(j?)，所以有

?，整理得

132[Sa(t)sin(3t)?sin(2t)]?Sa(t)Sa(3t)?Sa(2t)?t??

（2）由于H(j?)是一个带通滤波器，下限角频率为2rad/s，上限角频率为4rad/s，因此，只有角频率为3rad/sh(t)?的信号分量可以通过该滤波器。

由cos(?0t)?H(j?0)cos[?0t??(?0)]可知

0.4cos(3t)?0.4H(j3)cos[3t??(3)]

由于H(j3)?0.5，?(3)?0，所以有：0.4cos(3t)?0.2cos(3t)，即

f(t)?1?0.6cost?0.4cos3t?0.2cos5t?y(t)?0.2cos(3t)

5、如图A-4所示RLC电路，已知：

iL(0?)?1A,uc(0?)?1V,R?1.5?,L?0.5H,C?1F，试求：

（1）系统传输函数H(s)和系统单位冲激响应h(t)，并判断系统的稳定性； （2）当f(t)?2?(t)时，电阻两端的电压y(t)?？ 5、解：

（1）由RLC电路的零状态S域模型可得： 系统传输函数为：

H(j?)?3ss2?3s?2；

?2t?t系统单位冲激响应为：h(t)?3(2e?e)?(t)

由于极点－1和－2全在S域的左半平面，因此，该系统是稳定系统； （2）由RLC电路的全响应S域模型可得：

Y(s)?y(t)?3?te?(t)2

3(s?2)3?2(s2?3s?2)2(s?1)

因而有：

三、综合计算题（共20分，每小题10分）

1、一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如图A-5所示，输入已知

f(k)?4k?(k),y(?1)??1,y(?2)?2，由Z域求解：

4F(z)x2[k]k]-?+z?1z?1x1[?Y(z)32图A-5

（1）描述系统的差分方程（2）零输入响应yx(k)，零状态响应yf(k)，完全响应y(k)；

（3）系统函数H(z)，单位脉冲响应h(k)；（4）系统的状态方程和输出方程。 1、（1）输入端求和器的输出为

zX2(z)?F(z)?3X2(z)?2X1(z) X11(z)?z?X2(z) 式（2）代入式（1）得

X2(z)?1z?3?2z?1F(z) 输出端求和器的输出为

Y(z)?(z?4)Xz?42(z)?z?3?2z?1F(z) 即 (z?3?2z?1)Y(z)?(z?4)F(z)或

(1?3z?1?2z?2)Y(z)?(1?4z?1)F(z)因此系统的差分方程为

y(k)?3y(k?1)?2y(k?2)?f(k)?4f(k?1)（2）对上述差分方程取单边z变换得

Y(z)?3[z?1Y(z)?y(?1)]?2[z?2Y(z)?z?1y(?1)?y(?2)]?(1?4z?1)F(z)整理得

3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)1?4z?1Y(z)?1?3z?1?2z?2?1?3z?1?2z?2F(z)?Yx(z)?Yf(z)因此

Y3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)2z?1?75z12zx(z)?1?3z?1?2z?2?1?3z?1?2z?2?z?1?z?2取z反变换得

yx(k)?(5?12?2k)?(k)

k因为

f(k)?4?(k)?zz?4，所以

Y1?4z?15zz52zf(z)?1?3z?1?2z?2F(z)??3z?1?12z?2?3z?4取z反变换得

yk)?(?53?12?2k?52f(3?4k)?(k)全响应为

y(k)?(103?523?4k)?(k)（3）由系统函数的定义可得

(1)

(2)

(3)

(4)

取z反变换得系统单位冲激响应为

1?4z?1zzH(z)????5?6F(z)1?3z?1?2z?2z?1z?2

h(k)?(?5?6?2k)?(k)

Yf(z)（4）由式（1）、（2）可得系统的状态方程为

即

?x1(k?1)?x2(k)??x2(k?1)??2x1(k)?3x2(k)?f(k)

由式（4）可得系统的输出方程为 或

?x1(k?1)??01??x1(k)??0??x(k?1)????23??x(k)???1?f(k)??2????2??

y(k)?x2(k?1)?4x2(k)??2x1(k)?7x2(k)?f(k)

?x(k)?y(k)???27??1??f(k)?x2(k)?

2、连续时间线性时不变（LTI）系统的微分器的系统函数为：

Hc(s)?s (1)

若设：

21?z?1s?Ts1?z?1 (2)

则用（2）式代替（1）式中的s来设计离散时间LTI系统的方法称之为双线性变换法。Ts是在设计过程中须确定的一个大于零的数。

A、试画出离散系统的框图。B、确定离散时间系统的频率响应Hd(e

2、解：

A、令Hd(z)为离散系统的系统函数，则由题中给出的公式（1）和（2）得：

j?)，画出它的幅度及相位响应。

21?z?12?1??1Hd(z)??(1?z)???1?1TS1?zTS?1?z?

因此可知该系统可由两个子系统级联构成，如图A-8（a）所示：

X(z)??????2TsY(z)z?1z?1

（a）

可简化为图A-8（b）：