圆锥曲线专题训练

?3k?3∴直线l1被圆M截得的弦长s?23???2?1?k? 直线l2被圆N截得的弦长t?21????3k?1??2?1?k?????22?263k?6k1?k22， ……… 12分

?223k?2k1?k22， …………………………

13分 ∴

20. （09全国卷）

如图，已知抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)相交于A、B、C、D四个点。

（I）求r得取值范围；

（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P坐标

分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)的方程联立，

消去y，整理得x?7x?16?r?0．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线E:y?x与圆M:(x?4)?y?r(r?0)相交于A、B、C、D四个点的充要条

1522222222222222st?63k?6k23k?2k22?6(3k?k)2(3k?k)22?3，故

st为定值3． ……… 14分

22件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得r?(,4).考生利用数形结合及函数和方

程的思想来处理也可以．

（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法

处理本小题是一个较好的切入点． 设四个交点的坐标分别为A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?152x2)、D(x2,x2)。

则由（I）根据韦达定理有x1?x2?7,x1x2?16?r，r?(则S??S22,4)

12?2?|x2?x1|(2x1?x2)?|x2?x1|(x1?x2)

22?[(x1?x2)?4x1x2](x1?x2?22x1x2)?(7?216?r)(4r?15)

222令16?r?t，则S?(7?2t)(7?2t) 下面求S的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。

它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

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S2?(7?2t)2(7?2t)?12(7?2t)(7?2t)(14?4t)

?17?2t?7?2t?14?4t312832(3)?2?(3) 当且仅当7?2t?14?4t，即t?76时取最大值。经检验此时r?(152,4)满足题意。

方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点P的坐标。设点P的坐标为：P(xp,0)

由A、P、C三点共线，则x1?x2?x1得x7xp?x1x2?t?。

1?x2x1?xp6

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以下略。