江苏省徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷

43464所以S在(0,2]上有最大值S()?．

3276417?3??3， 又因为2727所以不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．…16分

4319．（1）因为an?an?2???2an?1，a1?a2?1，

所以a3?2a2-a1+????1，

所以S?(t)在(0,)上是增函数，在(,2]上是减函数，……14分

同理，a4?2a3-a2+??3??1，a5?2a4-a3+??6??1， ……………………2分 又因为a4?a1?3?，a5?a4?3?，…………………………………………………3分 所以a4?a1?a5?a4，

故a1，a4，a5成等差数列．…………………………………………………………4分 （2） 由an?an?2???2an?1，得an?2?an?1?an?1?an+?，…………………………5分

令bn?an?1?an，则bn?1?bn??，b1?a2?a1?0， 所以?bn?是以0为首项，公差为?的等差数列，

所以bn?b1?(n?1)??(n?1)?，…………………………………………………6分 即an?1?an?(n?1)?，

所以an?2?an?2(an?1?an)???(2n?1)?， 所以cn?2an?2?an?2(2n?1)?． ………………………………………………………8分

Sn?c1?c2?L?cn?2??23??25??L?2(2n?1)?

当??0时，Sn?n， ……………………………………………………………9分 当??0时，Sn?2?2?3??2?L?25?(2n?1)?2?(1?22n?)?．………………10分

1?22?（3）由（2）知an?1?an?(n?1)?，

用累加法可求得an?1+(n?1)(n?2)??n≥2?，

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当n?1时也适合，所以an?1+(n?1)(n?2)??n?N?? ……………………12分

2假设存在三项as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列，且s,t,p也成等比数列，

t2(t?1)2s(s?1)p(p?1)?则(at?1?1)?(as?1?1)(ap?1?1)，即， ………14分 442因为s,t,p成等比数列，所以t2?sp， 所以(t?1)2?(s?1)(p?1)，

化简得s?p?2t，联立 t2?sp，得s?t?p． 这与题设矛盾．

故不存在三项as?1?1,at?1?1,ap?1?1成等比数列，且s,t,p也成等比数列．…16分 20．（1）因为f(1)?1?a?0，所以a?2，………………………………………1分 2此时f(x)?lnx?x2?x,x?0，

1?2x2?x?1f?(x)??2x?1?(x?0) ……………………………………… 2分

xx由f?(x)?0，得2x2?x?1?0， 又x?0，所以x?1．

所以f(x)的单调减区间为(1,??)． ………………………………………… 4分

（2）方法一：令g(x)?f(x)-(ax?1)?lnx?12ax?(1?a)x?1， 21?ax2?(1?a)x?1所以g?(x)??ax?(1?a)?．

xx当a≤0时，因为x?0，所以g?(x)?0． 所以g(x)在(0,??)上是递增函数，

又因为g(1)?ln1?13a?12?(1?a)?1??a?2?0， 22所以关于x的不等式f(x)≤ax?1不能恒成立．……………………………………6分

1a(x?)(x?1)?ax?(1?a)x?1当a?0时，， ag?(x)???xx2第 10 页 共 15 页

令g?(x)?0，得x?1． a1a所以当x?(0,)时，g?(x)?0；当x?(,??)时，g?(x)?0，

1a因此函数g(x)在x?(0,)是增函数，在x?(,??)是减函数．

1a1a故函数g(x)的最大值为g()?ln1a11111?a?()2?(1?a)??1??lna． a2aa2a ……………………………………………………………………8分 令h(a)?1?lna， 2a11?0，h(2)??ln2?0，又因为h(a)在a?(0,??)是减函数． 24因为h(1)?所以当a≥2时，h(a)?0．

所以整数a的最小值为2． …………………………………………………………10分 方法二：（2）由f(x)≤ax?1恒成立，得lnx?12ax?x≤ax?1在(0,??)上恒成立， 2lnx?x?1问题等价于在(0,??)上恒成立． 12x?x2lnx?x?1g(x)?令，只要a≥g(x)max．………………………………………… 6分 12x?x21(x?1)(?x?lnx)12因为g?(x)?，令g?(x)?0，得?x?lnx?0．

12(x2?x)22a≥设h(x)??111x?lnx，因为h?(x)????0，所以h(x)在(0,??)上单调递减，

2x2不妨设?1x?lnx?0的根为x0． 2当x?(0,x0)时，g?(x)?0；当x?(x0,??)时，g?(x)?0， 所以g(x)在x?(0,x0)上是增函数；在x?(x0,??)上是减函数．

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11?x0lnx0?x0?112??．………………………8分 所以g(x)max?g(x0)?121x0?x0x0(1?x0)x022111因为h()?ln2??0，h(1)???0

224所以

11?x0?1，此时1??2，即g(x)max?(1,2)．

x02所以a≥2，即整数a的最小值为2．……………………………………………… 10分 （3）当a??2时，f(x)?lnx?x2?x,x?0

22由f(x1)?f(x2)?x1x2?0，即lnx1?x1?x1?lnx2?x2?x2?x1x2?0

从而(x1?x2)?(x1?x2)?x1?x2?ln(x1?x2) ………………………………… 13分 令t?x1?x2，则由?(t)?t?lnt得，??(t)?2t?1 t可知，?(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增．

所以?(t)≥?(1)?1， ………………………………………………………15分 所以(x1?x2)?(x1?x2)≥1， 因此x1?x2≥

25?1成立．………………………………………………………… 16分 2

数学Ⅱ 附加题部分

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．(选修4—1：几何证明选讲)

因为CD?AC，所以?D??CAD．………………………………………………2分 因为AB?AC，所以?ABC??ACB．……………………………………………4分

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