《步步高学案导学设计》2018-2019学度高中数学人教A版2-2配套备课资源第二章章末检测

2

∴a2＋b2≥2(a＋b)成立．

综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．

s2

18．证明 要证s<2a，由于s2＝2ab，所以只需证s

1

因为s＝2(a＋b＋c)，所以只需证2b

由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．

1

19．解 (1)令n＝2，∵a1＝6，

2×2＋1

∴S2＝a2，

2

1

即a1＋a2＝3a2.∴a2＝12.

3×3＋1

令n＝3，得S3＝a3，

2

1

即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝20.

4×4＋1

令n＝4，得S4＝a4，

2

1

即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝30.

1

(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明．

n＋11n＋21

①当n＝1时，a1＝6＝，结论成立．

1＋11＋2

②假设当n＝k时，结论成立，

1

即ak＝，

k＋1k＋2kk＋1kk＋11

那么当n＝k＋1时，Sk＝ak＝·22k＋1k＋2k＝， 2k＋2k＋1k＋2Sk＋1＝ak＋1，

2k＋1k＋2

即Sk＋ak＋1＝ak＋1.

2k＋1k＋2kk∴＋ak＋1＝ak＋1.

22k＋22k＋2

∴ak＋1＝

k＋1k＋2k－1＝ 2kk＋31k＋2

＝.

k＋2k＋3

当n＝k＋1时结论成立．

1

由①②可知，对一切n∈N*都有an＝.

n＋1n＋2

20．解 当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，

f11

得g(2)＝＝＝2，

1f2－1

1＋2－1

当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，

f1＋f2

得g(3)＝1＋1

1＋f23－1＝＝3，

11

1＋2＋3－1猜想g(n)＝n(n≥2)． 下面用数学归纳法证明：

当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立． ①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．

②假设n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1) ＝k[f(k)－1](k≥2)成立， 那么当n＝k＋1时，

f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k

1

＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k

k＋1

＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时，等式也成立．

由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立， 故存在函数g(n)＝n，使等式成立．