2019年天津市东丽区中考数学一模试卷及答案解析

（1）此次调查抽取的学生人数为a= 100 人，其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b= 40% ； （2）补全条形统计图；

（3）若该校有2000名学生，请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）用音乐的人数除以所占的百分比计算即可求出a，再用绘画的人数除以总人数求出b；

（2）求出体育的人数，然后补全统计图即可；

（3）用总人数乘以“绘画”所占的百分比计算即可得解． 【解答】解：（1）a=20÷20%=100人， b=

×100%=40%；

故答案为：100；40%；

（2）体育的人数：100﹣20﹣40﹣10=30人， 补全统计图如图所示；

（3）选择“绘画”的学生共有2000×40%=800（人）． 答：估计全校选择“绘画”的学生大约有800人．

21．已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D． （1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为 90° ；

（2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长； （3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．

【考点】圆的综合题． 【分析】（1）如图1，只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题；

（2）如图2，连接CD，根据条件可得△ACB是等腰直角三角形，从而得到∠B=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定理就可解决问题；

（3）如图3，连接CD，根据条件可得△ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC，设BD=x，然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题． 【解答】解：（1）如图1，

∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90° 故答案为90°；

（2）连接CD，如图2，

∵AC与⊙O相切，BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，∠ACB=90°． ∵AC=BC，

∴∠A=∠B=45°， ∴∠DCB=∠B=45°， ∴DC=DB． ∵BC=5，

∴BD2+DC2=2BD2=52， ∴BD=

；

（3）连接CD，如图3，

∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∵∠A=45°，

∴∠ACD=45°=∠A， ∴DA=DC．

设BD=x，则CD=AD=7﹣x． 在Rt△BDC中， x2+（7﹣x）2=52， 解得x1=3，x2=4， ∴BD的长为3或4．

22．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD﹣AB=CD﹣112；在Rt△BCD中，可得BD=CD?tan36°，即可得CD?tan36°=CD﹣112，继而求得答案．

【解答】解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m， ∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°， ∴AD=CD， ∵AD=AB+BD，

∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m）， ∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=∴tan36°=

，

，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，

∴BD=CD?tan36°，

∴CD?tan36°=CD﹣112， ∴CD=

≈

≈415（m）．

答：天塔的高度CD约为：415m．

23．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

… 100 110 120 130 售价（元/件）

… 200 180 160 140 月销量（件）

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （ x﹣60 ）元；②月销量是 （ 400﹣2x ）件；（直接写出结果）

（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；

（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．

【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元； ②设月销量W与x的关系式为w=kx+b， 由题意得，解得，

，

，

∴W=﹣2x+400；

（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400） =﹣2x2+520x﹣24000 =﹣2（x﹣130）2+9800，

∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．

24．在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C． ①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．

（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．

【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）①根据旋转的性质和平行线的性质证明；

②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据三角函数和三角形的面积公式解答； （2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，和以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，得出最大和最小值解答即可． 【解答】解：（1）①证明：∵AB=AC，B1C=BC，