2019_2020学年高中数学第二章推理与证明单元质量测评新人教A版选修2_2

距离)．∵h，|AB|为定值，∴VP－AOB恒为定值时，d为定值．∴当四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形或AB∥CD时满足条件.

15.已知圆的方程是x＋y＝r，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r.类比上述性质，可以得到椭圆类似的性质为________.

2

2

2

2

x2y2x0xy0y答案 经过椭圆2＋2＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为2＋2＝1

abab解析 圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与yx2y2x2y2

分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆2＋2＝1类似的性质为：过椭圆2＋2＝

abab1上一点P(x0，y0)的切线方程为

x0xy0y＋＝1. a2b2

16．如图，如果一个凸多面体是n(n∈N)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝________.(答案用数字或n的解析式表示)

答案

nn＋1

2

12

nn－1

2

n－2

解析 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋

nn－3

2

＝

nn＋1

24×1

.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)

2

＝n(n－2)＋

nn－3

2

(n－2)＝

nn－1

2

n－2

.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a，b>0，则lg (2)6＋10>23＋2.

a＋blg a＋lg b2≥2

.

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证明 (1)当a，b>0时，有所以lg 所以lg

a＋b2

≥ab，

a＋b2

≥lg ab，

a＋b1

lg a＋lg b≥lg ab＝. 222

(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)>(23＋2)，

即证260>248，这是显然成立的，所以原不等式成立.

18.(本小题满分12分)已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角. 证明 要证明B为锐角，只需证cosB>0.

2

2

a2＋c2－b2

又因为cosB＝，

2ac所以只需证明a＋c－b>0，即a＋c>b. 因为a＋c≥2ac，所以只需证明2ac>b. 211

由已知，得＝＋，即2ac＝b(a＋c).

2

2

2

2

2

2

2

2

2

bac所以只需证明b(a＋c)>b，即只需证明a＋c>b.

而已知a，b，c为△ABC的三边，即a＋c>b成立，所以B为锐角.

19．(本小题满分12分)如图，已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边分别于A′，B′，C′，则

2

OA′OB′OC′

＋＋＝1. AA′BB′CC′

这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”.

OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABS△ABC＋＋＝＋＋＝＝1. AA′BB′CC′S△ABCS△ABCS△ABCS△ABC请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明.

解 在四面体V－BCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长分别交四个面于E，

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F，G，H点，

则

OEOFOGOH＋＋＋＝1. VEDFBGCH证明：在四面体O－BCD与V－BCD中，设底面BCD上的高分别为h1，h，则 1

S△BCD·h1

OEh13VO－BCD＝＝＝. VEh1VV－BCDS△BCD·h3同理有：＝所以＋＝＝

OFVO－VBCOGVO－VCDOHVO－VBD；＝；＝. DFVD－VBCBGVB－VCDCHVC－VBDOEOFOGOH＋＋

VEDFBGCHVO－BCD＋VO－VBC＋VO－VCD＋VO－VBD VV－BCDVV－BCD＝1. VV－BCD2

20.(本小题满分12分)已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.

(1)求证：|c|≤1；

(2)当－1≤x≤1，求证：－2≤g(x)≤2. 证明 (1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件， 所以|f(0)|≤1.

而f(0)＝c，所以|c|≤1.

(2)当a>0时，g(x)在[－1,1]上是增函数， 所以g(－1)≤g(x)≤g(1).

又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c， 所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，

- 7 -

又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1， 所以2≥－f(－1)＋c≥－2，－2≤f(1)－c≤2， 所以－2≤g(x)≤2.

当a<0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2. 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，g(x)＝f(1)－c， 所以－2≤g(x)≤2. 综上所述，－2≤g(x)≤2. 21.(本小题满分12分)当n∈N时，

*

Sn＝1－＋－＋…＋

1

1

1

12113411

－， 2n－12n1

Tn＝＋＋＋…＋.

n＋1n＋2n＋32n(1)求S1，S2，T1，T2；

(2)猜想Sn与Tn的大小关系，并用数学归纳法证明. 17解 (1)S1＝T1＝，S2＝T2＝；

212(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N) 证明：①当n＝1时，S1＝T1； ②假设当n＝k(k∈N)时，Sk＝Tk，

111111111

即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，

2342k－12kk＋1k＋2k＋32k当n＝k＋1时

11111111－＋－＋…＋－＋－ 2342k－12k2k＋12k＋2＝?＝?＝＝

**

?1＋1＋1＋…＋1?＋1－1

2k??k＋1k＋2k＋3?2k＋12k＋2?1－1?＋?1＋1＋…＋1＋1?

??2k2k＋1??k＋12k＋2??k＋2k＋3?

11111

＋＋…＋＋＋ k＋2k＋32k2k＋12k＋2

1111

＋＋…＋＋＋

k＋1＋1k＋1＋22k2k＋12

1

， k＋1

即Sk＋1＝Tk＋1，

结合①②，可知n∈N，Sn＝Tn成立.

1?1?

22.(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝?an＋?.

an?2?(1)求a1，a2，a3；

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*