典型环节的Bode图

控制系统的开环频率特性

目的：掌握开环Bode图的绘制

根据Bode图确定最小相位系统的传递函数

重点：开环Bode图的绘制、根据Bode图确定最小相位系统的传递函数

1 开环伯德图手工作图的一般步骤：

1）将开环传递函数表示为时间常数表达形式，计算各个典型环节的交接频率

2）求20lgK的值，并明确积分环节的个数ν 3）通过（1,20lgK）绘制斜率为-20vdB/dec低频段 4）随着频率增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就改变一次斜率

最小相位系统定义： 递函数的零点、极点全部位于S 左半平面，同时又无纯滞后环节的系统称为最小相位系统。否则就是非最小相位系统。

对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。

非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采用非最小相位元件。

2 典型环节的伯德图

绘制曲线在MATLAB中实现，利用下述的程序段：

num=[b2 b1 b0]; den=[1 a2 a1 a0]; H=tf(num,den); bode(H) margin(H) hold on

2.1 比例环节

传递函数：G(s)?K 频率特性：G(j?)?K 对数幅频特性：L(j?)?20lgK 对数相频特性：?(?)?0

程序段：

num=[0 10]; den=[0 1]; H=tf(num,den); bode(H)

margin(H) hold on

结论：放大环节的对数幅频特性是一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线，相频特性是一条和横轴重合的直线。 K>1时，20lgK>0dB；K<1时，20lgK<0dB。

2.2 惯性环节（低通滤波特性） 传递函数：G(s)?11??s

频率特性：G(j?)?A(?)ej?(?) 对数幅频特性：L(?)?20lg1

1?(??)2对数相频特性：?(?)??arctan?? 绘制G(s)?1的Bode图

1?0.1s程序段：

num=[0 1]; den=[0.1 1];H=tf(num,den); bode(H)margin(H) hold on

结论：惯性环节的对数幅频特性可以用

在??1? 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示：当??1?时，是一条0分贝的直线； 当??1?时，是一条斜率为-20dB/dec的直线。

惯性环节具有低通特性，对低频输入能精确地复现，而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。

2.3 积分环节

传递函数：G(s)?1?s

频率特性：G(j?)?A(?)ej?(?) 对数幅频特性：L(j?)?20lg1??

对数相频特性：?(?)???2

在同一坐标中绘制G(s)?1s、G(s)?10.1s和

G(s)?10.01s的Bode图

num1=[0 1];den1=[1 1];H1=tf(num1,den1); bode(H1)margin(H1)hold on

num1=[0 1];den1=[0.1

1];H1=tf(num1,den1);bode(H1)margin(H1)

hold onnum1=[0 1];den1=[0.01 1];

H1=tf(num1,den1);bode(H1)margin(H1) hold on

蓝色的线为：G(s)?1s，红色的线为：G(s)?10.1s

紫色的线为：G(s)?10.01s

结论：积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上ω=1这一点，且斜率为-20的直线；相频与ω无关，值为-90°且平行于横轴的直线， 2.4 微分环节

传递函数：G(s)??s

频率特性：G(j?)?A(?)ej?(?) 对数幅频特性：L(j?)?20lg?? 对数相频特性：?(?)??2

在同一坐标中绘制G(s)?s、G(s)?0.01s和

G(s)?0.001s的Bode图

num1=[1 0];den1=[0 1];H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0.1 0];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0.01 0];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

蓝色的线为：，红色的线为

G(s)?s：G(s)?0.01s,紫色的线为：G(s)?0.001s

结论：微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号。 2.5 一阶比例微分环节 传递函数：G(s)?1??s 频率特性：G(j?)?A(?)ej?(?)

对数幅频特性：L(j?)?20lg1?(??)2 对数相频特性：?(?)?arctan??

在同一坐标系中，绘制G(s)??1s，G(s)?1?0.1s和G(s)?1?0.01s的Bode图。

num1=[1 1];den1=[0 1];H1=tf(num1,den1);

bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0.1 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0.01 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

2.6 二阶比例微分环节

传递函数：G(s)?1?2??s??2s2 频率特性：G(j?)?A(?)ej?(?)

对数幅频特性：

L(j?)?20lg(2???)2?(1??2?2)2

对数相频特性：?(?)?arctan2???1??2?2

绘制G(s)?1?2??s??2s2的Bode图。 1）取??0.707，??1则

G(s)?1?2s?s2

2）取

??1，??1则

G(s)?1?2s?s2

3）取

??0.2，??1则

G(s)?1?0.4s?s2

4）取??0.5，??1则

G(s)?1?1s?s2

5）取

??0.1，??1则

G(s)?1?0.2s?s2

在同一个标系中绘制以上曲线

num1=[1 1.414 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[1 2 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[1 0.4 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[1 1 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[1 0.2 1];den1=[0 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

二阶微分环节Bode

2.7 振荡环节 2传递函数：G(s)??n?2?2???s2 nns令??1s)?1?则：G(1?2??s??2s2

n频率特性：

G(j?)?1j?(?)1?j2?????2?2?A(?)e

对数幅频特性：

L(j?)?20lg1(2???)2?(1??2?2)2 对数相频特性：

??arctan2??????1??(?)???1??2?2????arctan2???

??1??2?2???1绘制G(s)?11?2??s??2s2的Bode图。

1）1）取??0.707，??1则

G(s)?11?2s?s2 2）取??1，??1则

G(s)?11?2s?s2

3）取??0.2，??1则

G(s)?11?0.4s?s2

4）取??0.5，??1则

G(s)?11?1s?s2

5）取??0.1，??1则

G(s)?11?0.2s?s2

在同一个标系中绘制以上曲线

num1=[0 1];den1=[1 1.414 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1)

margin(H1) hold on

num1=[0 1];den1=[1 2 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0 1];den1=[1 0.4 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0 1];den1=[1 1 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

num1=[0 1];den1=[1 0.2 1]; H1=tf(num1,den1); bode(H1) margin(H1) hold on

3 对控制系统的一般要求

开环对数频率特性的一般要求或者说怎样的

Bode图才算是比较理想的频率特性？

（1）中频段以-20dB/dec的斜率穿越零分贝

线，而且这一斜率占有足够的频带宽度，则系 统的稳定性好。

（2）截止频率?c越高，则系统的快速性越好。 （3）低频段的斜率陡，增益高，表示系统的稳 态精度好（即稳态误差小）。

（4）高频段衰减得越快，即高频特性负分贝值 低，说明系统抗高频噪声干扰的能力越强。