2012年高三数学复习资料基本初等函数()第6讲 函数y=Asin（wx+φ）的图像与性质及三角函数模型的简单应用

第6讲 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的

简单应用

★知 识 梳理

形如y?Asin(?x??)的函数： （1）几个物理量：A―振幅；f?1T―频率（周期的倒数）；?x??―相位；?―初相；

（2）函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由图象上的特殊点确定，

（3）函数y?Asin(?x??)图象的画法：①“五点法”――设X??x??，令X＝0，?2,?,3?2,2?求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这

是作函数简图常用方法。

（4）函数y?Asin(?x??)?k的图象与y?sinx图象间的关系：

①函数y?sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移|?|个单位得y?sin?x???的图象；

②函数y?sin?x???图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的函数y?sin??x???的图象；

③函数y?sin??x???图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

y?Asin(?x??)的图象；

1?，得到

④函数y?Asin(?x??)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k?0）或向下（k?0），得到y?Asin??x????k的图象。

要特别注意，若由y?sin??x?得到y?sin??x???的图象，则向左或向右平移应平移

|??|个单位，

（5）研究函数y?Asin(?x??)性质的方法：类比于研究y?sinx的性质，只需将y?Asin(?x??)中的?x??看成y?sinx中的x，但在求y?Asin(?x??)的单调区间时，要特别注意A和?的符号，通过诱导公式先将?化正。

★重 难 点 突 破

1.重点：熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则处理y?Asin(?x??)?k与y?sinx图象间的关系

2.难点：将三角函数式化为y?Asin(?x??)?k的过程以及已知y?Asin(?x??)?k的图

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象求参数A,?,?的过程

3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，分析图象特征求参数值，研究三角函数的性质以及解析一些实际问题。

(1).三角函数的性质要熟记。

问题1 (广东省五校2008年高三上期末联考)定义行列式运算

a1a2a3a4=a1a4-a2a3. 将函数

f(x)=3sinx1cosx的图象向左平移n（n>0）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n的

最小值为 A．

p6 B．

p3 C．

56p

D．

23p

点拨:本题考查了信息的处理、迁移和应用能力以及三角函数的基础知识．

f(x)=2cos(x+

?6) 左移 n 2cos(x+n+

?6) , 因此，n=

56p选C

（2）对三角函数图像的对称性和平移变换要熟练掌握

问题2. (潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测) 已知函数y?f(x)sinx的一部分图象如右图所示，则函数f(x)可以是

A 2sinx B 2cosx

C ?2sinx D ?2cosx

点拨:用代入法,结合周期为?及对称性可知选D （3）重视三角函数的应用题

问题3. 某港口水的深度y（米）是时间t (0?t?24,单位：时)的函数，记作y?f(t), 下面是某日水深的数据： t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 经常期观察，y?f(t)的曲线可以近似的看成函数y?Asin?t?b的图象，根据以上的数据，可得函数y?f(t)的近似表达式为 . 解析:从表可以看出，当t＝0时，y＝10，且函数的最小正周期T?12∴＝10，由

2??12?

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得???6，由t?3时y?13得Asin?6t?10，

?2?10?13∴A?3,∴y?f(t)的近似表达式为

y?3sin

★热 点 考 点 题 型 探 析

考点1 函数图象变换问题

题型:将几何条件转化为参数的值.

［例1］（2008·广东省惠州市高三第二次调研考试 ）将函数y?sin(2x?平移

?6?3)的图象先向左

，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象

对应的函数解析式为（ ）．

A．y??cosx B．y?sin4x C． 【解题思路】直接按变换法则进行转化 ［解析］y?sin(2x??3)的图象先向左平移12y?sin(x??6) D．y?sinx

?6?y?sin[2(x??6)??3]?sin2x，横坐标变

为原来的2倍?y?sin2(x)?sinx．选D．

【名师指引】三角函数图象变换问题一般步骤是先平移再伸缩. 【新题导练】

1．（2008·东莞五校联考题）将函数y?sin4x的图像向左平移

y?sin(4x??)的图像，则?等于（ ）

?12个单位，得到

A、??12 B、??3 C、

?3 D、

?12?12

?12)

解析．C．［将函数y?sin4x的图像向左平移

?sin(4x?个单位，得到y?sin4(x??3)］

2．我们知道，函数y?sin2x的图象经过适当变换可以得到y?cos2x的图象，则这种变换可以是

A．沿x轴向右平移C．沿x轴向左平移

?4个单位 个单位

?2)?sin2(x? B

B．沿x轴向左平移D．沿x轴向右平移

?4个单位 个单位

?2?2解析：y?cos2x?sin(2x?

?4)选

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考点2 确定函数解析式问题

题型1:分析图形定参数

例1.(08海南、宁夏省) 已知函数y?2sin(?x??)(??0))在区间?0，那么2??的图像如下：

?＝（ ）

A．1

B．2

C．

12y

D．

13

1 O 1 2π x

【解题思路】在解析式y?Asin(?x??)?k中?的值由周期确定,从图象分析周期为? 【解析】由图象知函数的周期T??，所以??答案：B

【名师指引】确定函数y?Asin(?x??)的解析式就是确定其中的参数A,?,?等，从图像的特征上寻找答案，它的一般步骤是:A主要由最值确定，?是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，?可由点在函数图像上求得，确定?值时，注意它的不唯一性，一般要求|?|中最小的?．

题型2.分析图象特征确定参数再求值

例2.（广东省实验中学2008学年高三第二次阶段测试试

已知向量m?(1,cos?x),n?(sin?x,3)，（??0），函数f(x)?m?n且f(x) 图像上一个最高点的坐标为(?12,2)，与之相邻的一个最低点的坐标为(7?12,?2).

2?T?2

( 1 )求f(x)的解析式。

（2）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a?c?b?ac，求角B的

大小以及f(A)取值范围。

【解题思路】将条件代入求参数,分析角之间的关系求值.

解析：(Ⅰ) f(x)?m?n?sin?x?12322223cos?x?????????1分

?2(sin?x?cos?x)?????????2分

?2sin(?x??3)?????????????3分

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