2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)含答案

∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴

，

∴

．

（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，

联立解得，同理求得，

故

．综上，得．

21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．

（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函数h（x）的最小值； （2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为

．

②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数． ∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e

a﹣1

+a．

③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．

综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a． （II）设

，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e

a﹣1

+a，

①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0． ②当a≤﹣1时，令∴

，解得：

，此时

．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1

≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，

即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立． ③当﹣1＜a＜0时，此时

，当

时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当

时，F''（x）＜0，F'（x）递减．

∴∴在

=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，

上F'（x）＞0，F（x）递增，

上F（x）＞0，显然不合题意．

又∵F（2）=0，所以在综上所述：a≤﹣1．

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为方程为ρsinθ﹣2cosθ=0． （1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入y=2x，得tsinθ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．

【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ． ∴曲线C的直角坐标方程为y=2x；

（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则

，

，

2

2

2

2

2

，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标

==．

当

时，|AB|的最小值为2．

23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．

（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可； （2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

【解答】解：（1），

当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3， 所以﹣3≤f（x）≤3， ∴m≥﹣3；

（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0， 即﹣f（x）≥x﹣8x+15由（1）可知，

当x≤2时，﹣f（x）≥x﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣10x+22≤0，∴

2

2

2

；

当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6； 综上，原不等式的解集为

．

2

2017年5月23日