2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）含答案

y，z） 2，3） 2，3） 3，3） 2，2） 3，2） 3，3） 2，2） 3，3） 1，1） 2，2） （1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；

（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．

（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．

【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8． 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A， 则

．

（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.

；

；

；

∴随机变量X的分布列为： X P ∴

19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=AD=CD=BC=CF．

1 2 = 3 ．

4 ；．

5 ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，

（1）求证：EF⊥平面BCF；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；

（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（

），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个

法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为

，此时点M与点F重合．

【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1， 又∵

2

2

2

，∴AB=2，

∴AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos60°=3． ∴AB=AC+BC．则BC⊥AC． ∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥CF，而CF∩BC=C， ∴AC⊥平面BCF． ∵EF∥AC， ∴EF⊥平面BCF；

（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（则C（0，0，0），A（∴

=（﹣

），

2

2

2

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）， =（λ，﹣1，1），

，1，0），

设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，

由得，取x=1，则=（1，，），

∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量， ∴cos＜

＞=

=

．

∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，

．

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为

20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=⊥x轴于点N，且动点M满足

（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；

（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．

【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．

（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过

，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②

相切，点A为圆C1上一动点，AN，设动点M的轨迹为曲线C．

若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．

【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）． 又圆

．

∴圆

．

与直线

即

相切，∴

由题意，∴

，得

．

，

∴，

即∴

将代入x+y=9，得曲线C的方程为

22

．

（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

由求根公式得

∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴

．即

．（*）

．

∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0． 化简可得，

．

将（*）代入可得，即3m﹣8k﹣8=0．

22

即，又．

将代入，可得

=．