带余数的除法

带余数的除法

雨点不停地滴，连石头都能穿透，不仅是石头，连钻石都保不住。——哈代 知识纵横

古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多有趣的名称，如“秦王暗点兵”，“韩信点兵”等等，人们还编了很多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余数除法的表现形式。

两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面的关系：

被除数=除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 【链接】理解带余数除法意义时，应注意两点：（1）整除是带余数除法的特殊情况：（2）余数总小于除数；（3）除数不能为零；（4）被除数与余数的差能被除数整除，也能被商整除。研究带余数除法可以转化为整除问题。 例题求解

例1两个数相除得商15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？

思路点拨 将带余数除法转化为整除问题，并由和倍问题可求出除数。

例2（1）班同学买了310个本子，如果分给每个同学数量相同的本子后还余下37本，且不能连续平均分，问（1）班有多少个同学？

思路点拨 由题意知，人数一定是310与37的差的约数。

例3自然数a除以7余3，自然数b除7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？

思路点拨 将自然数a、b分别用带余数除法式子表示出来，顺从题意便知所问。

【链接】例3评析：（1）如果两个自然数除以自然数a的余数相同，那么这两个自然数的差一定能被自然数a整除。反之，如果两个自然数的差能被自然数a整除，那么这两个自然数除以自然数a的余数相同。

（2）自然数a除以自然数c余数是m，自然数b除以自然数c余数是n，a减b的差除以c的余数等于m减n 的差除以c的余数（a>b）。

例4一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？

思路点拨 将所求三位数可写成n=37a+1，并由第二个条件提示，可转化为n=36a+（a+1），注意到：n被36除的余数等于（a+1）除以36的余数，第二次建立新的带余数除法算式，便可求出所求三位数。

例5一个数除以15的商是余数的4倍，那么这个数是余数的多少倍？ 思路点拨 此题中被除数、商和余数都没有直接告诉我们，不妨我们利用带余数除法中四个量之间的关系来求出被除数是除数的多少倍。

例6有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这篮苹果一共有多少个？ 思路点拨 将符合三种分法的数一一列举出来，得到三个数列，其中一定有一个数满足题目的三个条件。 例7“物不知其数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五之数剩三，七七数之剩二，问物几何？ 思路点拨 略

例8某数被5除余2，被7除余6，被11除余9，求该数最小值是多少？

思路点拨 从7和11的倍数中找到被5除余1的最小数，从5和7的倍数中找到被11除余1的最小数，从5和11的倍数中找到被7除余1的最小数，观察到要求的数被5、7、11除的余数是2、6、9，有剩余定理可知该数最小值。

学力训练 基础夯实

1．474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

2．哪些数除以7能使商和余数相同。

3．两个整数相除得商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，问除数是几？

4有一个小于200的数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？

5.一个四位数被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。

6.一个两位数除321，余数是48，这个两位数是多少？

7.自然数a除以13余6，自然数b除以13余12，问a和b的和除以13余几？

能力拓展

8.写五个不同的自然数，使其中任意三个自然数的和能被3整除，这五个自然数的和至少是多少？

9.从4到100的自然数中，除以4余数都是1的各个数的和是多少？

10.有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，要使这四个数的和尽可能小，这四个数的和是多少？

11.一个数除以7余数是2，如将被除数扩大9倍，那么余数是几？

12.有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，求这个两位数。

13.用某数除1019余4，除1816不足4，这个数最大是多少？

14.将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一行，共有1991个数，这1991个数的和被11除的余数是多少？

综合创新

15.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、55??，最右边的一个数被6除余几？

16.甲、乙两个人做同一个数的带余数法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数余乙多得的余数之和为13，求甲所得的余数。