华东师范大学2000至2009年数学分析，高等代数试题

华东师范大学2005年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：数学分析

一、判断题 1.设

f?x?在x0的邻域U?x0?内有定义且有界，若limf?x?不存在，则存在数列

x?x0xn?limyn?x0，而limf?xn? ?xn??U?x0?，?yn??U?x0?，使得limn??n??n??和limn??f?yn?都存在，但是不相等

2.设界.

f?x?在有限区间?a,b?上可导，且f??x?在?a,b?上有界，则f?x?在?a,b?上有

??3.设数项级数

2收敛，则级数aa?n?n收敛 n?1n?14.设

f?x?在?a,b?上有连续的导函数，?a,b?????,??，f?a??f?b??0，

若An?f?x?cosnxdx，B??a1bn?f?x?sinnxdx，n?0,1,2,?， ??a1b则对任意x??a,b?，

A0?f?x?????Ancosnx?Bnsinnx?.

2n?15.设

f?x,y?在?x0,y0?处连续，且fx?x0,y0??fy?x0,y0??0， f?x,y?在?x0,y0?处可微. f?x,y?在?x0,y0?处可微.

则则

二．计算题 1. 求limx?01?tanx?1?sinx；

x2sin2xdx，其中a，b为非零常数. 2222asinx?bcosx?2. 求

?203. 求级数

?2n?1n?0???1?nx2n?1的和函数和收敛区域.

4. 设

?x??y?f?x?在???,???上有连续的二阶导数，z?xf???2yf??，

?x??y??z?z?2z求，，.. ?x?y?x?ydS22225. 求??，其中S是球面x?y?z?a被平面z?h，?0?h?a?截得的球冠

zS部分. 三．1. 设2. 设

?an?是一列有界的正实数列，a?sup?a1,a2??，

??x0,x0??x0??a,b?有f?x???x0.

?0，使得在?a,b?上有f?x???.

??0f?x?是定义在?a,b?上的函数，满足：对任意x0??a,b?，存在?x0?0，?x0?0，

使得在

?x0?求证：存在?3. 设

f?x?是定义在???,???上的连续函数，且???0f?x?dx收敛.若含参量反常积分

I?y???f?x?y?dx在???,???上一致收敛.

求证：对任意的x?4. 设

???,???，f?x??0.

n?f?x??是定义在??1,1?上的连续函数列，且f?x??0，

nnn???1（1）lim?1f?x?dx?1；

?0，fn?x?在??1,??????,1?上一致收敛于零.

1（2）对任意?求证：对任意5. 设

fn?x?g?x?dx?g?0?. ??1,1?上的连续函数g?x?，成立limn????1f?x,y?在D???x,y?:x22?y2?1?上有连续的偏导数，

且在?D???x,y?:x?y2?1?上恒为零，

2求证

??D???f?2??f?f?x,y?dxdy?max??????3?x,y??D???x???y???????12.

考试科目：高等代数

第一部分 选择题、是非题、填空题：（15*4=60分）

1．设?1??2,?1,1?,?2??1,?1,2?,?3??1,?4,7?,?1??4,?1,3?,?2??7,a,4??3??a,?2,3?如

?1,?2,?3?与向量组??1,?2,?3?的秩相等，则a? 果向量组?2．设V是由数域F上全体四次三元对称多项式所生成的F上的线性空间，则dimF? 3．设A是一个n阶方阵，满足A2?A，则rankA?rank(A?E) （ ） (A) 大于n (B)等于n (C) 小于n (D)无法确定

4．设A是由数域F上n维线性空间V的一个线性变换，则V?AV?A(0)的充分必要

条件是dimAV?dimA(0)?n.

5．设A是由复数域F上一个n阶方阵，如果与A相似的矩阵只有A本身，则A一定是一

个 矩阵。 6．已知A,B,C都是n阶方阵，如果ABC?E，则下列等式

?1?1BCA?E,CBA?E,CAB?E,BAC?E,ACB?E中一定成立的有（ ）个。

(A) 1； (B)2； (C) 3； (D)4。

7．设向量组?1,?2,?,?s?1(s?3)线性无关，向量组?2,?3,?,?s线性相关，则（ ） (A)?1 可被?2,?3,?,?s线性表示，?s可被?1,?2,?,?s?1线性表示； (B)?1 可被?2,?3,?,?s线性表示，?s不可被?1,?2,?,?s?1线性表示； (C)?1 不可被?2,?3,?,?s线性表示，?s可被?1,?2,?,?s?1线性表示； (D)?1 不可被?2,?3,?,?s线性表示，?s不可被?1,?2,?,?s?1线性表示。 8．n阶方阵A可对角化的充分必要条件是 ．

?211???9．矩阵A??121? 的逆矩阵是 ．

?112???10．两个实对称矩阵A与B相似的充分必要条件是A与B有相同的特征多项

式． （ ）

11．设A是m?n阶矩阵，下列命题正确的是（ ）

(A)若rankA?n，则AX?B有唯一解； (B) 若rankA?n，则AX?B有无穷多解； (C)若rankAB?m，则AX?B有解； (D) 若rankA?m，则AX?B有解。 12．如果多项式f(x)?x?ax?1在有理数域Q上可约，则a? 13．当实数t? 时，多项式x?tx?2有重根。

33???3?20????2?，则使A?tE正定的实数的取值范围是 14．A???22?0?21???15．设3阶矩阵A?(aij)的特征值为1，—1，2，Aij为aij的代数余子式，则

A11?A22?A33?

第二部分 计算题、证明题 （共7题，共90分）

1x1x1216．（10分）计算行列式 Dn?1x22x2????1xn2xn?x1n?3x1n?1x1n??.

n?3n?3x2?xnn?1n?1x2?xnnx2?0nxn?3?1??11A?17．（15分）试求矩阵 ?30??4?1?0??00?

5?3??3?1??特征多项式、最小多项式和若当典范形（Jordan canonical form）.

?111???*18．（10分）设 A??111?， 试求矩阵B，使B?A。

?111???19．（15分）设A为n阶方阵

（1） 证明：如果A为实矩阵，则非齐次线性方程组A?AX?A?B有解； （2） 对任意的复矩阵A，非齐次线性方程组A?AX?A?B是否一定有解？

?AB? 20．（12分）设?其中A为m阶方阵，D为n阶方阵，B为m?n?B?D??为正定矩阵，

??阶矩阵。证明A，D与D?B?AB都是正定矩阵。

?1?1,?2,?,?m?与??1,?2,?,?m?为两个向量组 21．（14分）设??1,?2,?,?m?与??1,?2,?,?m?等价的充分必要条件是存在可逆 证明：向量组?矩阵P，使??1,?2,?,?m?P???1,?2,?,?m?.

22．（14分）设A为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B，使B?A.

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