【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试理数试题

S2，试探究S1?S2的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

21. 已知函数f(x)?ex?ax?a?a?R?，其中e为自然对数的底数. （1）讨论函数y?f(x)的单调性；

（2）函数y?f(x)的图像与x轴交于A(x1,0)，B?x2,0?两点，x1?x2，点C在函数y?f?x?的图像上，且?ABC为等腰直角三角形，记x2?1?t，求at??a?t?的值.

x1?1二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑.

?x?1?cos?x2y2?1.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（其中?为参数），曲线C2：?84?y?sin?以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C1、C2的极坐标方程；

（2）射线l:??????0?与曲线C1、C2分别交于点A,B (且A,B均异于原点O)，当 0???求OB?OA的最小值.

23.已知函数f?x??x?4+x?1?3. （1）求不等式f(x)?2的解集；

（Ⅱ）若直线y?kx?2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围.

22?2时，

2017~2018学年度下学期高三十七模考试

高三年级数学试卷(理科)答案

一、选择题

1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11、12：BB

二、填空题

13.

1?????? 14. ?0,??,?? 15.6 16.2个 6?4??2?三、解答题

17.（1）设等差数列?an?的公差为d，因为a2?S2?S1??4?2????1????3??, 所以3???4,所以??1.所以a1?S1?2,所以d?a2?a1?2. 所以an?a1?(n?1)d?2n （2）由（1）知??1，所以

1?bn?1?2n-1?2n?1 Sn所以bn?2n?1?11??1?2n?1????.

n(n?1)nn?1??所以Tn?20?21????1??11??2n?1????1?????????2??23?1???1????? ?nn?1??1?2n?1?2n?1n???1??2? ?1?2?n?1?n?1118.【解析】解：（1）语文成绩服从正态分布N(95,17.5)， ∴语文成绩特别优秀的概率为p1?P?X?130???1?0.96??数学成绩特别优秀的概率为p2?0.0012?20?0.024， ∴语文文特别优秀的同学有500?0.02?10人， 数学特别优秀的同学有500x0.024=12人

（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，

21?0.02， 2X的所有可能取值为0，1，2，3，

321C10C10C327 P?X?0??3?,P(X?1)?36?C1614C1656123C10C6C6151，， P(X?2)??P(X?3)??33C1656C1628∴X的分布列为：

X P E?X??0?0 1 2 3 3 1427 5615 561 283271519?1??2??3??E(X)=0×+1 145656288语文特别优秀 6 4 10 语文不特别优秀 6 484 490 合计 12 488 500 （3）2?2列联表：

数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 2500?(6?484?4?6)2?144.5?6.635 ∴k?10?490?12?4888∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.

y1y2(kx1?m)(kx2?m)km(x1?x2)?m22由题设知，k?k1k2? ??k?x1x2x1x2x1x22?8k2m2122?m?0∴km?x1?x2??m?0，∴，∵，∴， k?m?01?4k242则S1?S2

??2?x12x22x?1??x?1???? 24?44?21?64k2m28?m2?1???3?2?3??3?22??x1?x2??2x1x2???????? x1?x2??????216216?16??1?4k2?1?4k2?2??3??5?4m2?4?m2?1?????

?2416?故S1?S2为定值，该定值为

5?. 421.(理)解:（1）f??x??e??a.

①当a?0时，则f??x??0，则函数f?x?在(??,??)是单调增函数. ②当a?0时,令f??x??0，则x?lna，

若x?lna，f?(x)?0,所以f(x)在(??,lna)上是单调减函数； 所以x?lna，f?(x)?0，所以f(x)在?lna,???上是单调增函数.

i（2）由（1）可知当a?0时，函数y?f?x?其图象与x轴交于两点， 则有e?axi?a?0，则

a?xi?1??ei?0?xi?0?xi?1(i?1,2).

于是ex?x1?2?a(x1?1)(x2?1)，在等腰三角形ABC中，显然c?90?，所以x0?12?(x1,x2)，即22y0?f(x0)?0，

x2?x1??y0, 2x?x1x?xax?x所以y0?2?0，即e12?(x1?x2)?a?21?0

2222x?x1a所以a(x1?1)(x2?1)?(x1?x2)?a?2?0，

22(x?1)?(x1?1)a即a(x1?1)(x2?1)??(x1?1)?(x2?1)??2?0.

22x2?1?1??x?1ax?1x?1因为x1?1?0，则a2??1?2??1?0，

x1?12?x1?1?2由直角三角形斜边的中线性质，可知又x2?1a1?t，所以at?(1?t2)?(t2?1)?0，

22x1?12，则(a?1)(t?1)?2 t?1所以at?(a?t)?1.

即a?1?