高二数学期末复习练习五导数

高二数学期末复习练习五导数（2）

命题人：陈海燕 审核人：邱小兰

1. 物体运动方程为

，则t=5时的瞬时速度为 ____125_____

2. 函数f（x）=xe 从x=1到x=3和平均变化率为 ____

3

x

_____

3. 设P为曲线C：y=x﹣x上的点，则曲线C在点P处的切线倾斜角取值范围为

__

3

_______

4. 函数f（x）=x+ax在（1，2）处的切线方程为 __ y=4x﹣2_______

5. 已知函数f（x）=x﹣ax+3ax+1在区间（﹣∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，则实

数a的取值范围是 ____（﹣∞，0）∪（9，+∞）_____ 6. 函数f(x)＝x－3x＋1的极小值点为

7. 已知函数y?f(x)在点(2,f(2))处的切线为由y=2x-1，则函数g(x)?x2?f(x)在点

3

23

2

(2,g(2))处的切线方程为 6x-y-5=0

8.函数f(x)?ax?lnx在[e,??)上是减函数，则实数a的取值范围是(??,?21] 22ea2,g(x)?x?lnx，若对任意的x1,x2?[1,e]，都有9.设a?0，函数f(x)?x?xf(x1)?g(x2)成立，则实数a的取值范围为 a?e?2 7. 已知定义在R上的可导函数y?f(x)的导函数为f/(x)，满足f/(x)?f(x)且

y?f(x?1)为偶函数，f(2)?1，则不等式f(x)?ex的解集为_ 8. 已知曲线C1:y?ex与C2:y??1x，若C1,C2分别在点P处的切线是同一条直线l，则直1,P2e线l的方程为 y?ex

9. 设f(x)是定义在???，2?上的减函数，且f(a2?sinx?1)≤f(a?cos2x)对一切x?R都

??成立，则a的取值范围是 ??2，1?10?

2??10. 若实数a、b、c、d满足（b+a﹣3lna）+（c﹣d+2）=0，则（a﹣c）+（b﹣d）的最小

值为 _____ 8 ____

22222

14. 已知函数f(x)＝e＋aln x的定义域是D，关于函数f(x)给出下列命题： ①对于任意a∈(0，＋∞)，函数f(x)是D上的减函数； ②对于任意a∈(－∞，0)，函数f(x)存在最小值；

③存在a∈(0，＋∞)，使得对于任意的x∈D，都有f(x)>0成立； ④存在a∈(－∞，0)，使得函数f(x)有两个零点．

其中正确命题的序号是__②④______(写出所有正确命题的序号)．

15. 已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在

3

[－，1]上的最大值和最小值． 2解：∵f′(－1)＝0， ∴3－2a＋1＝0，即a＝2.

1

∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋)(x＋1)．

31

由f′(x)>0，得x<－1或x>－；

31

由f′(x)<0，得－1

3

331

因此，函数f(x)在[－，1]上的单调递增区间为[－，－1]，[－，1]，

2231

单调递减区间为[－1，－]．

3

∴f(x)在x＝－1处取得极大值为f(－1)＝2； 1150

f(x)在x＝－处取得极小值为f(－)＝.

33273135013

又∵f(－)＝，f(1)＝6，且>，

28278

3313

∴f(x)在[－，1]上的最大值为f(1)＝6，最小值为f(－)＝.

228

16. 设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立． 解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0， ?x－a??2x＋a?a2

所以f′(x)＝x－2x＋a＝－. x

由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)． (2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，

x

要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，

??f?1?＝a－1≥e－1，只要?222 ?f?e?＝a－e＋ae≤e.?

解得a＝e.

17. 已知函数f（x）=ax+1（a＞0），g（x）=x+bx．

（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值； （2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．

（1）因f（x）=a（x﹣5）+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0）， 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1）， 由切线与y轴相交于点（0，6）． ∴6﹣16a=8a﹣6， ∴a=．

（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）+6lnx，（x＞0）， f′（x）=（x﹣5）+=

，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

2

22

3

当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数， 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数， 故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．

18. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=方法1：导数法

设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元， 则

，

令f'（x）=0得x=15

当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0 因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层． 方法2：（本题也可以使用基本不等式求解） 设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元， 则

（x≥10，x∈Z）

+

）

，

当且进行

，即x=15时取等号．

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

19. 已知f（x）=

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f（x）=

2

在区间[﹣1，1]上是增函数．

的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使

得不等式m+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由

（Ⅰ）f'（x）=4+2ax﹣2x，∵f（x）在[﹣1，1]上是增函数，

∴f'（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，

2

即x﹣ax﹣2≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．①

2

设φ（x）=x﹣ax﹣2， ①?

?﹣1≤a≤1，

2

∵对x∈[﹣1，1]，只有当a=1时，f'（﹣1）=0以及当a=﹣1时，f'（1）=0 ∴A={a|﹣1≤a≤1}．