2020学年高中数学第2章随机变量及其分布2.3.1练习新人教A版选修2 - 3

(2)X的可能取值是1,3.

X＝1时，函数f(x)＝x2－3x＋1 在区间[2，＋∞)上单调递增， X＝3时，函数f(x)＝x2－9x＋1 在区间[2，＋∞)上不是单调递增，

所以P(A)＝P(X＝1)＝0.76.

12．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表.

最高气温 天数 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？

解析 (1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋163625＋7＋4

＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.4.因此X的分布列为 909090

X P 200 0.2 300 0.4 500 0.4 (2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n. 当200≤n＜300时，

若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n. 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． 四、选做题

13．某购物网站在顾客购买任何商品后都会出现“抽奖大转盘”，现有一商家有A，B2

两种抽奖方案可以选择，方案A：中奖率为，每次中奖可以获得20元购物代金券；方案B：

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中奖率为，每次中奖可以获得30元购物代金券，其他奖项为“谢谢参与”．每次中奖与否

5相互独立．

(1)现有两位顾客甲、乙各购物1次．若顾客甲选择方案A，顾客乙选择方案B各抽奖一次，记他们累计获得的购物代金券面额之和为X，求P(X≤30)；

(2)若从发放代金券金额之和较少考虑，作为商家会选择哪种方案？

解析 (1)由题意知，X的所有可能取值是0,20,30,50，则P(X≤30)＝P(X＝0)＋P(X＝13231211

20)＋P(X＝30)＝×＋×＋×＝.

35353515

(2)设共有n名顾客参与抽奖活动，则这n名顾客都选择方案A时，累计中奖次数为XA，累计获得的购物代金券金额之和为YA；这n名顾客都选择方案B时，累计中奖次数为XB，累

?2?计获得的购物代金券金额之和为YB，则YA＝20XA，YB＝30XB．由已知可得XA～B?n，?，所以

?3?

E(XA)＝n×＝n，所以E(YA)＝E(20XA)＝20E(XA)＝n.同理可得E(YB)＝E(30XB)＝30E(XB)

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＝12n.因为n＞12n，所以商家会选择方案B．

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2233

403