浙江省湖州市2019年中考数学试题（含解析）

①当点Q与点C重合时，求证:直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点, 连结QM，QN.问:是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

图1 【答案】略

【解答】(1)如图1，连结BP，过点P作PH⊥OB于点H，

图3

则BH＝OH. ∵AO＝BO＝3，

∴∠ABO＝45°，BH＝1

2OB＝2，

∵⊙P与直线l1相切于点B， ∴BP⊥AB，

∴∠PBH＝90°-∠ABO＝45°. ∴PB＝2BH＝，从而⊙P的直径长为3 (2)证明：如图4过点C作CE⊥AB于点E，

2

图

图4

将y＝0代入y＝3x-3，得x＝1， ∴点C的坐标为(1，0). ∴AC＝4， ∵∠CAE＝45°， ∴CE＝AC＝22. ∵点Q与点C重合， 又⊙Q的半径为22， ∴直线l1与⊙Q相切.

②解：假设存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形， ∵直线l1经过点A(-3，0)，B(0，3)， ∴l的函数解析式为y＝x＋3. 记直线l2与l1的交点为F， 情况一：

如图5，当点Q在线段CF上时， 由题意，得∠MNQ＝45°.

如图，延长NQ交x轴于点G，

图5

∵∠BAO＝45°，

∴∠NGA＝180°-45°-45°＝90°， 即NG⊥x轴，

∴点Q与N有相同的横坐标， 设Q(m，3m-3)，则N(m，m+3)， ∴QN＝m＋3-(3m-3). ∵⊙Q的半径为22， ∴m＋3-（3m-3）＝22， 解得m＝3-2， ∴3m-3＝6-22，

∴Q的坐标为(3-2，6-22). 情况二：

当点Q在线段CF的延长线上时，同理可得m＝3＋2，Q的坐标为(3＋2，6＋32). ∴存在这样的点Q1(3-2，6-32)和Q2(3＋2，6＋32)，使得△QMN是等腰直角三角形.

24.(本小题12分)

如图1，已知在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝∠3，D是BC的中点.

(1)求C的长和点D的坐标；

(2)如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F

①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点

M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

图1图2

【答案】略

【解答】(1)解：∵A＝3，tan∠OAC＝= ∴OC＝3.

∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝A0＝3. ∵D是BC的中点， 13∴CD＝BC＝，

22

3

∴点D的坐标为(，3).

2(2) ①∵tan∠OAC＝ ∴∠OAC＝30°， ∴∠ACB＝∠OAC＝30°.

设将△DBF翻折后，点B落在AC上的B’处， 则DB’＝DB＝DC，∠BDF＝∠BD’F，

OCOA

∴∠DB’C＝∠ACB＝30°， ∴∠BDB＝60°， ∴∠BDF＝∠B’DF＝30°. ∵∠B＝90°， ∴BF＝BD ?tan30＝ ∵AB＝3， ∴AF＝BF＝

∵∠BFD＝∠AFE，∠B＝∠FAE＝90°， ∴△BFD≌△AFE. 3

∴AE＝BD＝.

2

99

∴OE＝OA＋AE＝，∴点E的坐标为(，0).

22②