江苏省苏州市第五中学高中数学 3.2空间向量的应用学案 苏教版选修2-1

3．2 空间向量的应用

一、学习内容、要求及建议

知识、方法 直线的方向向量理解 与平面的法向量 面的法向量﹒ 将空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用空间线面关系的理解 判定 的过程，应在明确方向向量和法向量含义的基础上，借助图形自己“翻译”完成﹒ 直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”要求 学习建议 理解直线的方向向量与平面的法向量；会用待定系数法求平能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体空间的角的计算 理解 会向量方法在研究几何问题中的作用﹒ 二、预习指导 1．预习目标

(1)理解直线的方向向量与平面的法向量； (2)会用待定系数法求平面的法向量；

(3)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；

(4)能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)； (5)能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系； (6)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 2．预习提纲

(1)直线的方向向量：我们把直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量．

(3)用向量描述空间线面关系：设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2，两个平面

?1,?2的法向量分别为n1,n2，则有如下结论：

平 行 垂 直 l1与l2 l1与?1 e1//e2 e1?n1 n1//n2 e1?e2 e1//n1 n1?n2 ?1与?2 (4)空间的角的计算：

①两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补；

②法向量在求线面角中的应用原理：设平面?的斜线l与平面?所的角为?1，斜线l与平面

?的法向量所成角?2，则?1与?2互余或与?2的补角互余；

③法向量在求面面角中的应用原理：一个二面角的平面角?1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角?2相等或互补． 3．典型例题

例1 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：

EF?DA1．

D1 z C1 uuuruuuur分析：用向量方法处理，只要证明EF?DA1，建立空间 uuuruuuur直角坐标系，得出EF,DA的坐标后，用向量数量积的 1坐标运算证明．

证明：设已知正方体棱长为1个单位，以D为坐标原点，

建立空间直角坐标系D?xyz（如图），

则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(1,1,)，F(,,1)，

F A1 B1 D A x E B C y uuuuruuur111∴EF?(?,?,)，DA,0,1)， 1?(1222uuuruuuur11∴EFgDA1???1??1?0，

22uuuruuuur∴EF?DA1，所以，EF?DA1．

121122点评：建立空间直角坐标系后，确定点的坐标是关键．

例2 棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在一点P，使B1D?面

PAC?

解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设点P?0,0,z?，

D1A1B1PDzC1uuuruuuruuuurAP???a,0,z?，AC???a,a,0?，DB1??a,a,a?，

uuuuruuuruuuuruuurBD?要使1面PAC， 只要DB1?AP，且DB1?AC，

即DB1?AP?0，DB1?AC?0，

2∴?a?az?0， ∴z?a，即点P与D1重合

CByxA∴点P与D1重合时，B1D?面PAC 点评：用向量法证明垂直问题，只要计算两向量的数量积为零． 例3 在三棱锥S?ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?，

zSAC?2,BC?13,SB?29 ．求SC与AB所成角的余弦值．

A解：如图，取A为原点，AB,AS分别为y,z轴建立 空间直角坐标系，则有AC?2,BC?13,SB?29，得

BCxy?134?B0,17,0,S0,0,23,C??217,17,0??，

??????uuur?134r??uuu?1313,,?23,CB??2,,0∴SC??2 ????1717???1717????设SC与AB所成的角为?，

uuuruuuruuuruuuruuur∵AB?0,17,0,SC?AB?4,SC?AB?417

??uuuruuur17SCgAB17uruuur?∴cos??uu，即SC与AB所成角的余弦值为．

17|SC||AB|17例4 如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2a、2b，高为c的等腰梯形，且a、b、

c成等比数列，将此梯形沿对称轴OO1折成直二面角，

(1)证明：AC?BO1；

(2)设二面角O?AC?O1的平面角为?,当b?2a时，求cos?的值．

D O1 C D O1 C A 解：(1)证明：∵OA⊥OO1，OB⊥OO1． O B A O z B ∴∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

∴OA⊥OB．以O为原点，OA、OB、OO1

O1 D O C 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(b，0，0)，B(0，b，0)，C(0，a，c)

B y O1(0，0，c)．

uuuruuuurAC?(?b,a,c)∴，BO1?(0,?b,c)，

x A uuuruuuur∴AC?BO1?(0,?b,c)?(?b,a,c)??ab?c2， uuuruuuur∵a、b、c∴c?ab，∴AC?BO1?0,∴AC⊥BO1．

2uuuruuuur(2)OC?BO1?(0,a,c)?(0,?b,c)??ab?c2?0,∴BO1⊥OC，

∵AC⊥BO1，ACIOC?C∴BO1⊥平面OAC，BO1是平面OAC的一个法向量．

ruuur??n?AC?0;??bx?ay?cz?0;设n?(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量，由?ruuu得? 得 uray?0;??n?O1C?0;?ruuuurr?c2?ab;b?c?a，∴n?(1,0,2)，BO1?(0,?2a,2a) n?(1,0,)．Q?c?b?2a;ruuuurn?BO12. ∴cos??cos?n，BO1>=ruuuur?3n?BO1点评：利用向量求二面角的大小方法：

方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向) 如图：二面角??l??的大小为?，

?CBDlA?A,B?l,AC??,BD??,AC?l,BD?l， uuuruuuruuuruuur则???AC,BD???CA,DB?．

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