2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题14坐标系与参数方程理(含解析)

14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是

?x?t?x?2?2cos?（t为参数），曲线C的参数方程是?（?为参数），以O为极点，x轴的非?y?t?1y?2sin???负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）已知射线OP：?1??（其中0???ππ）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：?2???与直22线l交于Q点，若?OPQ的面积为1，求?的值和弦长OP． 【答案】（1）?cos???sin??1?0，??4cos?；（2）??π，OP?22． 4【解析】（1）直线l的普通方程为x?y?1?0，极坐标方程为?cos???sin??1?0，

（x?2）?y?4，极坐标方程为??4cos?． 曲线C的普通方程为

（2）依题意，∵??，∴OP?4cos?， （0，）22π2OQ?1ππsin（??）?cos（??）22?1，

sin??cos?12cos?OPOQ??1， 2cos??sin?ππ∴tan??1，∴??，，??（0，）OP?22．

24S△OPQ?【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标

?x?et?e?t?方程为?（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标

t?t??y?e?e系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为?sin?（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标． 【答案】（1）?cos2??4??2?π?????2． ?3?π?π??π?????（2）?22，?

4?6??4?

【解析】（1）消去参数t，得曲线C的直角坐标方程x?y?4?x?2?．

22将x??cos?，y??sin?代入x?y?4，得?2cos2??sin2??4． 所以曲线C的极坐标方程为?cos2??4??222??π??π????．

4??42（2）将l与C的极坐标方程联立，消去?得4sin??π?????2cos2?． ?3?展开得3cos2??23sin?cos??sin2??2cos2??sin2?． 因为cos??0，所以3tan??23tan??1?0． 于是方程的解为tan??2??3π

，即??． 36

代入?sin?π??π??????2可得??22，所以点P的极坐标为?22，?．

6??3??【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．

16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy?x?2tx中，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为?（t?y?2?t为参数），曲线C的极坐标方程为?cos??8sin?． （1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求MN．

【答案】（1）曲线C方程为x?8y，表示焦点坐标为?0,2?，对称轴为y轴的抛物线；（2）10．

2222【解析】（1）因为?cos??8sin?，所以?cos??8?sin?，即x?8y，

22所以曲线C表示焦点坐标为?0,2?，对称轴为y轴的抛物线． （2）设点M?x1,y1?，点N?x2,y2?

直线l过抛物线的焦点?0,2?，则直线参数方程为??x?2t1化为一般方程为y?x?2，代入曲线C的

y?2?t2?

直角坐标方程，得x2?4x?16?0， 所以x1?x2?4,x1x2??16 所以MN??x1?x2???y1?y2?222?1?k2?x1?x2?2

?1?k2?1??1????2??x1?x2?2?4x1x2 ?4?2?4???16??10．

【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．

17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方

??x??2?t程为x?y?4，直线l的参数方程?（t为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，

??y?33?3t22纵坐标变为原来的

3倍，得曲线C2． 2（1）写出曲线C2的参数方程；

（?2，33）（2）设点P，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求

11?的值． PAPB【答案】（1）??x?2cos?1（?为参数）；（2）

2?y?3sin?3， 222【解析】（1）若将曲线C1上的点的纵坐标变为原来的

2xy22则曲线C2的直角坐标方程为x??1， （y）?4，整理得?493∴曲线C2的参数方程??x?2cos?（?为参数）．

y?3sin??1?x??2?t??2?（2）将直线的参数方程化为标准形式为?（t?为参数），

?y?33?3t??2?

132(?2?t?)2(33?t?)xy22??1 ??1得将参数方程带入4949222整理得（t?）?18t??36?0．

74??t2??PA?PB?t172144?t2??， ，PAPB?t17772PA?PB111???7?．

1442PAPBPAPB7【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．