三集合非标准型容斥原理

三集合非标准型容斥原理

———————————————海南华图数资老师，胡军亮

近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括标准型和非标准型，三集合容斥原理与三集合标准型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非标准型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1）A?B?C?(A?B?B?C?A?C)?A?B?C?总数-都不满足 （2）A?B?C?只满足两条件-2*A?B?C?总数-三条件都不满足 （3）A?B?C?只满足一个条件?2*只满足两条件?3*满足三条件

公式（1）是标准型公式，公式（2）、（3）都是非标准型公式。

【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（ ）

A. 14 B. 21

C. 23

D. 32

解析：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非标准型题，带入公式（2）得到：

7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。

【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？

A. 17 B. 12 C. 15 D. 20

解析：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非标准型容斥原理的题，带入公式（3）得到：

8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。

从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非标准型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。

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