2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（解析版）

∴x=2，y=1， ∴=（2，1） ∴||=，||=∴|﹣2|=

， =0，

=

=5，

故答案为：5

15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是 6 ． 【考点】基本不等式．

【分析】求出xy的最大值，问题转化为m﹣2≤4，求出m的最大值即可． 【解答】解：由x＞0，y＞0，xy=x+y≥2， 得：xy≥4，

于是由m﹣2≤xy恒成立， 得：m﹣2≤4， 解得：m≤6， 故答案为：6．

16．数列{an}满足a1=2，且an+1﹣an=2n（n∈N*），则数列

的前10项和为

．

【考点】数列的求和．

【分析】由a1=2，且an+1﹣an=2n，利用“累加求和”方法可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

【解答】解：∵a1=2，且an+1﹣an=2n，

an=∴n≥2时，（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=当n=1时也成立，

∴an=2n． ∴

=

．

+1=2n，

∴数列的前10项和==．

故答案为：．

三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．

accosB．

第13页（共21页）

【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（I）由S△ABC=

得出tanB=

，故而B=

；

（II）在△ABD中使用正弦定理求出AD，在△ACD中使用余弦定理计算AC． 【解答】解：（I）在△ABC中，∵S△ABC=∴tanB=∴B=

． ．

，cos∠ADC=．

，

（II）∵cos∠ADB=﹣，∴sin∠ADB=

在△ABD中，由正弦定理得，即，

解得AD=7．

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos∠ADC=49+4﹣4=49， ∴AC=7．即b=7．

18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：

2011 2012 2013 2014 2015 年份 246 257 276 286 居民生活用水量（万吨） 236 （Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；

（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．

参考公式：．

【考点】线性回归方程． 【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （II）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把x=2020代入回归方程求出用水量的估计值． 【解答】解：（I）=2013， =

第14页（共21页）

=260.2，

= （﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8=130．

=4+1+0+1+4=10．

∴b==13，

∴回归方程为y﹣260.2=13（x﹣2013），即y=13（x﹣2013）+260.2．

（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）．

答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点 （1）证明：AB⊥PC；

（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．

（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可． 【解答】证明：（1）取AB中点E，

∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形 ∴CE⊥AB，PE⊥AB， ∵CE∩PE=E， ∴∵PC?平面PEC ∴AB⊥PC 解：（2）∵

，

∴角形PEC为正三角形，

过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC， 过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC， 连AH，则∠DAH为所求角

第15页（共21页）

，

20．已知椭圆

，．

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为

+1．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

B两点，且与短轴交于点C，若△OAF（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，

与△OBC的面积相等，求直线l的方程． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，a+c=1+

，解得a，由b=

，可得b，进而得到椭

圆方程；

（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（Ⅰ）哟题意可得c=1，a+c=1+， 解得a=

，b=

=1， +y2=1；

即有椭圆的方程为

（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k）， 联立

，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8+8k2＞0成立， x1+x2=

，

由△OAF与△OBC的面积相等，可得|AF|=|BC|， 即有线段AB的中点和线段CF的中点重合， AB的中点的横坐标为

，

CF的中点的横坐标为，

即有=，

解得k=±．

第16页（共21页）