(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法、数列的通项公式与数列求和教案

左边增加的项数是( )

A．1 C．k

解析：选D.当n＝k时， 111

左边＝1＋＋＋…＋k. 232－1当n＝k＋1时，

11111

左边＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1，

232－122－111k＋1kk增加了k＋…＋k＋1，共(2－1)－2＋1＝2(项)．

22－1

?1?m6．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列??的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对任

15?an?

B．k－1 D．2

k意的n∈N恒成立，则正整数m的最小值为( )

A．3 C．5

B．4 D．6

*

解析：选C.在等差数列{an}中，因为a2＝5，a6＝21，

??a1＋d＝5，

所以?解得a1＝1，d＝4，

?a1＋5d＝21，?

1所以＝an11

＝.

1＋4（n－1）4n－3

因为(S2n＋1－Sn)－(S2n＋3－Sn＋1) ＝?＝

?1＋1＋…＋1?－?1＋1＋…＋1?

?a2n＋1?a2n＋3??an＋1an＋2??an＋2an＋3?

1

an＋1a2n＋2

－1

－

111

＝－－ a2n＋34n＋18n＋58n＋9

1

＝?

?1－1?＋?1－1?>0，所以数列

???

?8n＋28n＋5??8n＋28n＋9?

1

114

{S2n＋1－Sn}(n∈N*)是递减数列，数列{S2n＋1－Sn}(n∈N*)的最大项为S3－S1＝＋＝，

5945

14m14

所以≤，m≥.又m是正整数，所以m的最小值是5.

45153

7．(2019·温州七杭联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(an，an－1)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )

A．3－1

n2

2

1－（－3）

B．

2

n1＋3C．

2

2

2

n3n＋nD． 2

2

2

2

解析：选A.由点(an，an－1)在直线x－9y＝0上，得an－9an－1＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－

1

)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，所以an＋3an－1>0，所以an－3an－1＝0，即

an＝3，an－1

a1（1－qn）2×（3n－1）

所以数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝

1－q3－1

＝3－1，故选A.

8．(2019·高考浙江卷)设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an＋b，n∈N，则( ) 1

A．当b＝时，a10>10

2C．当b＝－2时，a10>10

1

B．当b＝时，a10>10

4D．当b＝－4时，a10>10

2

*

n111122

解析：选A.当b＝时，因为an＋1＝an＋，所以a2≥，又an＋1＝an＋≥2an，故a9≥a2

22221?2111?72

×(2)≥×(2)＝42，a10>a9≥32>10.当b＝时，an＋1－an＝?an－?，故a1＝a＝时，a10

2?242?

7

1

＝，所以a10>10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，2则a10＝x0<10，故a10>10不成立．所以选A.

9．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则

an>0的最大n＝________，满足SkSk＋1<0的正整数k＝________．

解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5， 所以依题意a6＝S6－S5>0，a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0， 所以an>0的最大n＝6.

11（a1＋a11）

所以S11＝＝11a6>0，

2

S12＝S13＝

12（a1＋a12）12（a6＋a7）

＝>0，

2213（a1＋a13）

＝13a7<0，

2

所以S12S13<0，即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12. 答案：6 12

2an10．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则通项公式an＝________．

2＋an2an111

解析：因为an＋1＝，所以＝＋. 2＋anan＋1an2

?1?11

所以数列??是首项为，公差为的等差数列，

22?an?

1111n－1n所以＝＋(n－1)×＝＋＝，

ana122222所以an＝.

n2答案： n11．(2019·丽水调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36， 所以a4＋a6＝36， 与a4a6＝275，联立，解得?

?a4＝11，???a6＝25

或?

?a4＝25，?

??a6＝11，

???a4＝11，?a1＝－10，

?当时，可得?此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，?a6＝25?d＝7，??

当n≥3时，an>0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；

???a4＝25，?a1＝46，?当时，可得?此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，?a6＝11?d＝－7，??

当n≥8时，an<0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值．

综上，anan＋1的最小值为－12. 答案：－12

12．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．

5×4??6×5??d?·?6a1＋d?＋15＝0. 解析：由S5S6＋15＝0，得?5a1＋

2??2??整理可得2a1＋9a1d＋10d＋1＝0.

因为a1，d为实数，所以Δ＝(9d)－4×2×(10d＋1)≥0， 解得d≤－22或d≥22. 答案：d≤－22或d≥22

13．(2019·兰州诊断考试)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有

2an＝1成立，则S2 017＝________．

anSn－S2n2an2

2＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－Sn＝－SnSn－1，

anSn－Sn2

2

2

2

解析：当n≥2时，由

?2?222

所以－＝1，又＝2，所以??是以2为首项，1为公差的等差数列，

SnSn－1S1

?Sn?

22所以＝n＋1，故Sn＝，

Snn＋11则S2 017＝.

1 009答案：

1

1 009

*

14．已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N}，B＝{x|x＝2，n∈N}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．

解析：所有的正奇数和2(n∈N)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，2

5

6

n*

n*5

前面有16个正奇数，即a21＝2，a38＝2.当n＝1时，S1＝1<12a2＝24，不符合题意；当n＝2时，S2＝3<12a3＝36，不符合题意；当n＝3时，S3＝6<12a4＝48，不符合题意；当n＝4时，21×（1＋41）2×（1－2）

S4＝10<12a5＝60，不符合题意；…；当n＝26时，S26＝＋＝441

21－222×（1＋43）2×（1－2）

＋62＝503<12a27＝516，不符合题意；当n＝27时，S27＝＋＝484

21－2＋62＝546>12a28＝540，符合题意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27.

答案：27

15．(2018·高考天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2， 可得q－q－2＝0.

因为q>0，可得q＝2，故bn＝21－2n所以，Tn＝＝2－1.

1－2

设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n. 所以，Sn＝

nn－1

2

*

*

55

.

n（n＋1）

2

.

n1

2

2×（1－2）n＋1

(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(2＋2＋…＋2)－n＝－n＝2－n－2.

1－2

n由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得

n（n＋1）

2

＋2

n＋1

－n－2＝n＋2

n＋1

，整理得n－3n－

2