（浙江专用）2020高考数学二轮复习专题三第2讲数学归纳法、数列的通项公式与数列求和教案

第2讲 数学归纳法、数列的通项公式与数列求和

数学归纳法 [核心提炼]

用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，证明步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N)时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)，可知命题对于从n0开始的所有正整数都成立．

[典型例题]

(2019·宁波市九校联考)已知n∈N，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2×1×3

×…×(2n－1)．

(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；

(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明． 【解】 (1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120. (2)猜想：Sn＝Tn(n∈N)． 证明：①当n＝1时，S1＝T1；

②假设当n＝k(k≥1且k∈N)时，Sk＝Tk，

即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2×1×3×…×(2k－1)， 则当n＝k＋1时，

k*

*

*

*

*

nSk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)

＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2) 2×1×3×…×（2k－1）＝×(2k＋1)(2k＋2)

k＋1＝2

k＋1k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1.

即n＝k＋1时也成立，

由①②可知，n∈N，Sn＝Tn成立．

利用数学归纳法时应注意以下两点

(1)这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．

(2)用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由n＝k证明n＝k＋1时，要准确利用证明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．

[对点训练]

(2019·高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每

*

个n∈N，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝

*

an**

，n∈N，证明：c1＋c2＋…＋cn<2n，n∈N. 2bn解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得

a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，

解得a1＝0，d＝2. 从而an＝2n－2，n∈N. 所以Sn＝n－n，n∈N.

由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列得 (Sn＋1＋bn)＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)． 12

解得bn＝(Sn＋1－SnSn＋2)．

22

**

d所以bn＝n＋n，n∈N. (2)证明：cn＝

2*

an＝2bn2n－2

＝

2n（n＋1）n－1*

，n∈N.

n（n＋1）

我们用数学归纳法证明．

①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立； ②假设n＝k(k∈N)时不等式成立，即

*

c1＋c2＋…＋ck<2k，

那么，当n＝k＋1时，

c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2k＋

2k＋2(k＋1－k)＝2k＋1，

k（k＋1）（k＋2）

<2k＋

12<2k＋＝k＋1k＋1＋k即当n＝k＋1时不等式也成立．

根据①和②知，不等式c1＋c2＋…＋cn<2n对任意n∈N成立．

由递推式求数列通项公式

[核心提炼]

利用递推法解题的一般步骤 (1)确定初始值； (2)建立递推关系； (3)利用递推关系求通项．

[典型例题]

*

(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为

________．

(2)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项公式an＝________． (3)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)(n＝1，2，3，…)，则Sn＝________．

【解析】 (1)由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn11

＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，

221?n－11?n－11??为公比的等比数列．又a1＝2－a1，a1＝1，则an－2＝(－1)·??，所以an＝2－??.

2?2??2?

(2)法一：(递推法)

2

an＝2an－1＋3＝2(2an－2＋3)＋3＝22·an－2＋2×3＋3

＝2an－3＋2×3＋2×3＋3＝… ＝2＝2

n－13

2

·a1＋2＋3(2

n－2

·3＋2

n－3

n－3

·3＋…＋3

n＋1

n－1n－2

＋2＋…＋1)＝2－3.

法二：(构造法) 设an＋a＝2(an－1＋a)， 即an＝2an－1＋a，所以a＝3. 所以an＋3＝2(an－1＋3)，

所以{an＋3}是公比为2的等比数列． 所以an＋3＝(a1＋3)·2又a1＝1，所以an＝2

n＋1

n－1

.

－3.

?an1?(3)由题知Sn＝?＋?，当n＝1时，易得a1＝1.

?22??an1??an－11?an＝Sn－Sn－1＝?＋?－?＋? ?22??22???? ＋1?＝?＋·?－???22??22??an－an－1?＋?an－an－1?， ＝?????4??22?

整理得

2

an＋an－1a2n－an－12

2

2

22

anan－1anan－1

2

＝4

?an－an－1＝2.

2

所以an＝2n－1.所以Sn＝n.

?1?【答案】 (1)an＝2－???2?

n－1

(2)2

n＋1

－3

(3)n2

由递推式求数列通项公式的常见类型

(1)形如an＋1＝an＋f(n)的数列，求解此类数列的通项公式一般先通过变形为an＋1－an＝

f(n)，再利用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，代入相应的关系式，再

加以合理的分析与求解．同理，形如an＋1＝f(n)an型数列可转化为用累乘法求解．

(2)形如an＋1＝can＋d(c≠0，1)的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归、转化为新的等比数列an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，结合新等比数列的公式或性质来求解与转化．

(3)由an与Sn的递推关系求数列通项公式的步骤 第一步：令n＝1，由Sn＝f(an)求出a1；

第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1(或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点)，由递推关系求通项公式；

第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论． 如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．

[对点训练]

(2019·浙江省重点中学高三联考)已知数列{an}满足：2n∈N.

(1)求a1，a2及数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＝1，解：(1)n＝1时a1＝1,

*

n－1

a1＋2

n－2

a2＋…＋2an－1＋an＝n，

bn＋1－bnn＝2，求数列{bn}的通项公式． ann＝2时2a1＋a2＝2?a2＝0

22

n－1

a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＋an＝n① a1＋2n－3a2＋…＋an－1＝n－1(n≥2)②

n－2

①－2×②?an＝2－n(n≥2)，

a1＝1满足上式，故an＝2－n.

(2)bn＋1－bn＝(2－n)2，有

n??b－b＝0×2?…??b－b＝（3－n）×2

2

3

2

b2－b1＝1×21

累加整理得，

（n≥2）

n－1

nn－1

bn＝1＋1×21＋0×22＋…＋(3－n)×2n－1(n≥2)①，

2bn＝2＋1×2＋0×2＋…＋(3－n)×2(n≥2)②，

2

3

n