（东营专版）2020年中考数学复习 核心母题一 最值问题深度练习

2019年

核心母题一 最值问题

深度练习

1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝( )

A．6

B．8

C．10

D．12

2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．

3．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．

4．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.当点P在BC上移动时，求PQ的最大值．

2019年

5．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点． (1)求此抛物线的解析式；

(2)当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

(3)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

参考答案

1．B 2.7 3.(23－3，2－3) 4．解：如图，连接OQ.

在Rt△OPQ中，PQ＝OQ－OP＝9－OP， 当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC， 13

则OP＝OB＝，

22∴PQ的最大值为

3233

9－（）＝.

22

2

2

2

2

5．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c，

2019年

b

－＝2，??2a

由题意得?

a－b＋c＝0，??c＝5，a＝－1，??

解得?b＝4，

??c＝5，

∴抛物线的解析式为y＝－x＋4x＋5.

(2)当a＝1时，E(1，0)，F(2，0)，OE＝1，OF＝2. 设P(x，－x＋4x＋5)．

如图，过点P作PN⊥y轴于点N，

2

2

则PN＝x，ON＝－x＋4x＋5， ∴MN＝ON－OM＝－x＋4x＋4. S四边形MEFP＝S梯形OFPN－S△PMN－S△OME 111

＝(OF＋PN)·ON－MN·NP－OE·OM 222

1119215322

＝(x＋2)(－x＋4x＋5)－x·(－x＋4x＋4)－×1×1＝－(x－)＋， 2224169153∴当x＝时，S四边形MEFP最大，最大为.

41691432

当x＝时， y＝－x＋4x＋5＝，

4169143此时点P坐标为(，)．

416

(3)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为3.

令y＝－x＋4x＋5＝3，解得x＝2±6. ∵点P在第一象限， ∴点P(2＋6，3)．

2

22

2019年

∵在四边形PMEF中，PM，EF长度是固定的， ∴ME＋PF最小时，四边形PMEF的周长最小．

如图，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小． 设直线PM2的解析式为y＝mx＋n， 将P(2＋6，3)，M2(1，－1)代入得

?（2＋6）m＋n＝3，

?

?m＋n＝－1，

46－4?m＝，?5解得?

46＋1

??n＝－5，46－446＋1∴y＝x－.

55当y＝0时，解得x＝∵a＋1＝∴当a＝

6＋56＋5

，∴F(，0)． 44

6＋56＋1

，∴a＝， 44

6＋1

时，四边形PMEF的周长最小． 4